Равноускоренное движение: Часть 4

Задача 8

Условие

Машинист настроил бортовой компьютер электрички так, чтобы он показывал среднюю скорость v на участке, пройденном между соседними опорами, поддерживающими контактный провод. Расстояния между любыми двумя соседними опорами одинаковы. Электричка отправляется с платформы «Новодачная» и разгоняется с постоянным ускорением. Через некоторое время машинист увидел, что компьютер показывает скорость v_1=20 км/ч. На следующем участке скорость оказалась v_2=30 км/ч. Какой была мгновенная скорость u электрички на границе между первым и вторым участками?

0.1c Решение

Первый способ.

Пусть L - расстояние между соседними опорами, a - ускорение электрички. Исходя из условия задачи мы будем рассматривать два соседних участка 1-2 и 2-3 между соответствующими опорами 1, 2 и 3 (см. рисунок).

0.2с Условимся, что средняя скорость на участке 1-2 есть v_1 , а на участке 2-3 , соответственно, v_2 . Пусть u_1 - мгновенная скорость в момент прохождения первой опоры, электричка проходит участок 1-2 за некоторое время t_1 , а участок 2-3 - за время t_2 . Тогда из определения средней скорости на участке, его длину можно записать как

L=v_1 t_1=v_2 t_2. С другой стороны, поскольку движение равноускоренное:

\begin{gathered}

L=u_1 t_1+\frac{a t_1^2}{2} \\

L=u t_2+\frac{a t_2^2}{2} \\

u=u_1+a t_1

\end{gathered} Упрощая и подставляя

v_1^2=u v_1-\frac{a L}{2}, \quad v_2^2=u v_2+\frac{a L}{2} . Избавляясь от L , выражаем скорость u и находим численное значение:

u=\frac{v_1^2+v_2^2}{v_1+v_2}=26 \ км/ч. Второй способ (графический).

Используем обозначения первого способа, а также первое равенство. Построим график зависимости скорости электрички от времени. С учетом первого равенства и численных значений скоростей, движение на участке 1-2 длится в полтора раза дольше, чем на 2-3 (например 6 \tau и 4 \tau) .

Для любого участка при равноускоренном движении средняя скорость равна мгновенной скорости на середине временного интервала. Из графика следует, что изменение мгновенной скорости от 20 до 30 км/ч происходило за время 5 \tau . Откуда изменение скорости за 3 \tau равна 6 км/ч. Тогда искомая скорость 26 км/ч.

0.3с Ответ 26 \ км/ч.

Задача 9

Условие

Тело немного сместили из положения неустойчивого равновесия, и оно поехало. При этом скорость удаления от начальной точки возрастает по закону v=A \sqrt{x} , где x - расстояние до начальной точки, A - постоянный коэффициент. Через какое время тело окажется на расстоянии L ?

Решение

Обычно скорость задают как функцию времени t , а в нашем случае она задана как функция координаты x . Такой вид непривычен, но, может быть, это какое-то хорошо известное движение и получить ответ будет легко? Давайте попробуем.

Зададим очень малый промежуток времени \Delta t и найдем ускорение a тела:

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta x} \frac{\Delta x}{\Delta t} . Ясно, что первый множитель - это просто производная функции v(x)=A \sqrt{x} :

\frac{\Delta v}{\Delta x}=\frac{1}{2} A \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{A}{2 \sqrt{x}}. Второй множитель - это скорость тела:

\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(x)=A \sqrt{x} . Таким образом.

a=\frac{A}{2 \sqrt{x}} A \sqrt{x}=\frac{A^2}{2}=\text { const } . Это означает, что тело движется просто равноускоренно и окажется на расстоянии L от положения равновесия через время

t=\sqrt{\frac{2 L}{a}}=\sqrt{\frac{2 L}{\frac{A^2}{2}}}=\frac{2}{A} \sqrt{L}. Ответ \frac{2}{A} \sqrt{L}.

Задача 10

Условие

Два автомобиля выехали навстречу друг другу из городов A и B с одинаковыми по величине скоростями и одинаковыми по величине ускорениями, равными a . Ускорение автомобиля, выехавшего из A , было всё время направлено в A , а выехавшего из B направлено в B . На сколько позже выехал один из этих автомобилей, если третий автомобиль, двигавшийся всё время со скоростью v , присутствовал при обеих встречах первых двух автомобилей?

Решение

Пусть начальные скорости первых двух равны v_0, искомая задержка \Delta t, время первой встречи t_1 , время между встречами t , а расстояние между местами встречи L Тогда для движения третьего автомобиля:

L = v t. Для движения первых двух автомобилей между встречами:

(v_0 - a t_1) t - \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2} - (v_0 - a (t_1 - \Delta t))t \ \Rightarrow \ at = 2v_0 - 2at_1 + a \Delta t. Для расстояния между местами встреч:

L = (v_0 - a t_1) t - \frac{at^2}{2} \ \Rightarrow \ v = v_0 - at_1 - at/2. Собирая все уравнения вместе, получаем

\Delta t = \frac{2v}{a}. Ответ \frac{2v}{a}.