Движение по окружности: Часть 1

Радианная мера углов

Введём понятие радиана и научимся с ним работать. Несмотря на то, что в основном Вы пользовались градусной мерой углов, она не является ни единственной, ни даже наиболее естественной.

Отношение длины дуги, на которую данный центральный угол опирается, к радиусу окружности определяется лишь только данным углом и не зависит от величины радиуса. Введение радианной (впрочем, как и градусной) меры основано на этом утверждении.

Напомним, что центральным углом называется угол, вершина которого находится в центре рассматриваемой окружности.

Радиан – угловая мера, соответствующая центральному углу окружности, высекающему дугу, равную радиусу.

Таким образом, так как длина окружности это

C = 2\pi R, полный угол в радианах равен

\phi = C/R = 2\pi. Соответственно развёрнутый угол равен \pi , прямой \pi/2 , прочие выражаются как доли от уже определённых.

Период и частота

Вы уже множество раз встречались с движением тела по окружности. Самый простой и общедоступный пример такого движения висит почти в каждом доме. Концы стрелок часов передвигаются по окружностям разного радиуса с постоянной, не меняющейся скоростью (собственно, поэтому и возможно отмерять таким образом время).

Время, за которое тело осуществляет один полный оборот по окружности, называется периодом.

Вообще говоря, никакое тело не обязано двигаться по окружности с постоянной скоростью. Например, когда спортсмен занимается бегом по стадиону в форме окружности, его скорость никогда не остаётся доподлинно постоянной. Поэтому и период придётся либо рассчитывать на основании средней скорости, либо смириться с тем, что период меняется по мере изменении скорости.

Как уже было сказано, длина окружности равна 2 \pi R, где R радиус окружности. Обыкновенная скорость, с которой передвигается тело в применении к движению по окружности называется линейной. Это необходимо, поскольку существует также понятие угловой скорости, с которым мы скоро познакомимся. Тем не менее, мы уже знаем расстояние, которое нужно преодолеть за один оборот по окружности и можем найти требующееся для этого время:

T = \frac{2 \pi R}{v}. Период, обычно, обозначается именно так, большой латинской буквой T.

Существует так же величина называемая частотой. Это величина обратная периоду \nu = \frac{1}{T}, показывающая как много оборотов (или какую часть оборота) тела совершает за одну секунду. Единица измерения частоты называет Герцем и обозначается Гц. В свою очередь Гц = 1/с. Пусть, например, T = 0.1 с. Это означает, что за время 0.1 с тело совершает один полный оборот. Частота при этом получается равна: \nu = 1/0.1 Гц = 10 Гц ; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость

Мы не зря потратили часть лекции на введение радиана. Обычно в физике, углы измеряются именно в них. Зачастую, например, когда радиус окружности неважен или неизвестен (вряд ли Вы точно знаете радиус своих настенных или наручных часов) удобнее всего измерять пройденную телом часть пути с помощью углов. Например, тело прошло угол \pi и сразу же понятно, что оно прошло половину окружности, даже если её длину доподлинно вычислить нельзя.

Раз уж мы собрались измерять пройденное расстояние с помощью углов, нам нужен аналог линейной скорости, также построенный на угловой мере. Таким аналогом является угловая скорость. Вспомним определение линейной скорости. Скорость это векторная физическая величина, равная отношению перемещения, совершённого за очень малый промежуток времени к величине этого промежутка. Определения линейной и угловой скорости очень схожи.

Угловая скорость это скалярная физическая величина, равная отношению пройденного за очень малый промежуток времени угла к величине этого промежутка:

\omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}. Для случая, когда скорость постоянна, можно также сказать, что

\omega = \frac{\phi}{t}. Как видно из определения, угловая скорость измеряется в рад/с. Приведём несколько примеров угловых скоростей, чтобы Вы осознали масштаб:

Угловая скорость секундной стрелки часов равна \pi/30 \approx 0.105 рад/с.

Угловая скорость минутной стрелки часов равна \pi/1800 \approx 0.0017 рад/с.

Угловая скорость часовой стрелки часов равна \pi/21600 рад/с = \pi/6 \approx 0.523 рад/ч.

Угловая скорость автомобиля, едущего по МКАДу со скоростью 100 км/ч \approx 5.76 рад/ч.

В качестве упражнения, вычислите примерно угловую скорость вращения Земли вокруг собственной оси и вращения Земли вокруг Солнца.

Вы наверняка обратили внимание, что для всех этих расчётов нам необходим только период обращения тела по окружности, потому что существует соотношение

\omega = \frac{2\pi}{T}, или, если в терминах частоты

\omega = 2 \pi \nu. Относительность движения по окружности

Как и в случае с прямолинейным движением, вполне возможно, что по окружности движутся сразу несколько тел. Найти их относительную линейную скорость в каждом случае не так уж просто – необходимо чётко знать их местоположение на окружности, углы между направлениями их линейных скоростей и сами значения этих скоростей, конечно же. Всё это довольно громоздкие и неприятные вычисления, зачастую не имеющие никакого практического смысла. А вот найти относительную угловую скорость гораздо проще.

Если тела движутся по окружности в одну сторону, то их угловая скорость сближения равна модулю разности их угловых скоростей:

\omega_{сбл} = |\omega_1 - \omega_2|. Если тела движутся по окружности в разные стороны, то их угловая скорость сближения равна сумме их угловых скоростей:

\omega_{сбл} = \omega_1 + \omega_2. Заметим, что в случае движения по окружности, термин скорость отдаления не имеет такой уж принципиальной разницы со скоростью сближения, ведь пока увеличивается один угол между телами, уменьшается второй.

Связь между линейной и угловой скоростями

Мы уже получили связь как между линейной скоростью и периодом, так и между угловой скоростью и периодом:

\begin{cases}

T = \frac{2\pi R}{v}

T = \frac{2\pi}{\omega}

\end{cases} Из этих уравнений легко получить ещё одно, связь между линейной и угловой скоростью:

\frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi}{\omega} \ \Rightarrow \ v = \omega R. Эта связь очень удобно не только для перевода одной скорости в другую, но и для сравнения линейных скоростей тел, угловые скорости и радиусы описываемых окружностей которых нам известны.

Выполните для закрепления одно упражнение, найдите, во сколько раз отличаются линейные скорости концов минутной и секундной стрелки часов. Для простоты скажем, что радиус часов равен одному метру (практически, Куранты), а размеры стрелок отличаются в 1.5 раза (секундная длиннее).

Нормальное и тангенциальное ускорения

Понятно, что тело, не движущееся по прямой, обязано иметь ускорение. Ускорение, при движении по окружности, принято раскладывать на две компоненты: центростремительное ускорение (или нормальное ускорение) a_n и тангенциальное ускорение a_{\tau} . Центростремительное ускорение это проекция ускорения на ось, связывающую точку, движущуюся по окружности и центр этой самой окружности (ось направлена от точки к центру). Тангенциальное ускорение это проекция ускорения на касательную к окружности ось, направленную так же как скорость тела.

Так как указанные оси перпендикулярны, по теореме Пифагора:

a_n^2 + a_{\tau}^2 = a^2, где a это полное ускорение тела.

Так как центростремительная и касательная оси перпендикулярны, a_n не влияет на модуль скорости, зато влияет на поворот вектора скорости.

Рассмотрим малый промежуток времени \Delta t, на котором скорость не меняется по модулю, но поворачивается на небольшой угол \Delta \phi.

1.1 (1) Пусть за это время была пройдена дуга длиной \Delta L . Тогда из определения радианной меры углов:

\frac{\Delta L}{R} = \Delta \phi, а из связи линейной и угловой скоростей

\frac{V}{R} = \omega. Так как касательная всюду перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания, угол между V_1 и V_2 равен \Delta \phi. Тогда

\Delta \phi = \frac{\Delta V}{V}. И, раз модуль скорости не менялся, значит

\Delta V = a_n \Delta t. По определению угловой скорости:

\Delta \phi = \omega \Delta t. Собирая всё воедино, получаем важнейшую связь:

\omega v = a_n, которая, выполняется в том числе и тогда, когда a_{\tau} \neq 0.

Аналогом ускорения для линейной скорости является угловое ускорение для угловой скорости. Угловое ускорение это скалярная величина, равная отношению изменения угловой скорости за малый промежуток времени к этому промежутку времени:

\varepsilon = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}.