Баллистика. Векторы: Часть 1

Видео

Конспект

Баллистика. Векторы

Задача 1

Условие

Камень бросают со скоростью v_0 под углом \varphi к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол \alpha с горизонтом?

Решение

Горизонтальная компонента скорости остаётся неизменной:

v_x(\varphi) = v_x(\alpha) = v \cdot \cos \varphi А вертикальная составляющая уменьшается в зависимости от времени по закону:

v_y(t) = v \sin \varphi - gt Откуда угол, который составляет скорость с горизонтом, определяется как:

\tan \alpha = \frac{v_y(t)}{v_x} Или,

\tan \alpha \cdot v \cdot \cos \varphi = v \cdot \sin \varphi - gt Откуда получаем искомый момент времени:

t = \frac{v}{g} (\sin \varphi - \cos \varphi \tan \alpha) Задача 2

Условие

С высокой башни бросают камень так, что расстояние на котором он упал от башни – максимально возможное. Найдите угол между начальной и конечной скоростью камня.

2_1 Решение

Площадь треугольника скоростей можно записать как S = \frac{1}{2}v_0 v \sin \varphi

Угол \varphi – угол между векторами начальной и конечной скоростей.

С другой стороны, его площадь можно записать как S = \frac{1}{2}gtv_x

С другой стороны, дальность полета равна L = tv_x = \frac{2S}{g} = \frac{v_0 v \sin \varphi}{g}

Тогда, если \sin \varphi = 1 , то дальность полета максимальна. Но если синус угла равен 1, то начальная и конечная скорости перпендикулярны друг другу.

Задача 3

Условие

Тело бросили под некоторым углом к горизонту так, что через время \tau скорость тела оказалась перпендикулярной начальной. Каков модуль перемещения тела за это время?

Решение

Построим треугольник скоростей, домножим каждую из сторон на \tau , проведём медиану:

3 Заметим, что если медиану представить вектором, она получится суммой векторов \vec{v_0} \tau и \vec{g} \tau^2/2 , то есть такой вектор и будет перемещением за время \tau . А величина медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то есть g \tau^2/2 .