Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. (Часть 1): Часть 1

Задача 1

Условие

Нитку тянут со скоростью V_0 . Найдите угловую скорость катушки и скорость её центра. Катушка по столу и нитка по катушке не проскальзывают. Внутренний радиус катушки r , внешний R .

8.1 Решение

Так как катушка не проскальзывает по поверхности, скорость её нижней точки равна 0. Значит это МЦВ катушки. Значит, из связи между угловой и линейной скоростями

\omega = \frac{V_0}{R - r}. Расстояние от центра катушки до МЦВ равно R. Значит

V_{ц} = \frac{R}{R - r} V_0. Ответ \omega = \frac{V_0}{R - r} , V_{ц} = \frac{R}{R - r} V_0.

Задача 2

Условие

Две параллельные рейки движутся со скоростями v_1 и v_2 . Между рейками зажат диск радиуса r , катящийся по рейкам без скольжения. Найдите угловую скорость диска и скорость его центра.

8.2 Решение

Так как диск не проскальзывает по поверхностям, скорость его нижней точки равна v_2 , а верхней v_1 . Так как обе скорости направлены горизонтально, а МЦВ находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек, мы понимаем, что МЦВ находится на вертикальной прямой, проходящей через центр диска. Пусть расстояние от верхней точки до МЦВ равно r_1, а от нижней точки до МЦВ r_2. МЦВ не может находиться внутри диска, потому что тогда диск будет вращаться одновременно по и против часовой стрелки, что невозможно. Из связи между угловой и линейной скоростями

\omega = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_1}{r_1}. И раз МЦВ находится вне диска:

|r_1 - r_2| = 2r. Можем предположить, что r_1 > r_2. Тогда v_1 > v_2 и

\omega = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_1}{r_2 + 2r}. Откуда

1 + \frac{2r}{r_2} = \frac{v_1}{v_2} \ \Rightarrow \ r_2 = 2r \frac{v_2}{v_1 - v_2}. Подставляя, находим угловую скорость

\omega = \frac{v_2}{2r v_2} (v_1 - v_2) = \frac{1}{2r} (v_1 - v_2). Возвращаясь к общему случаю, получаем

\omega = \frac{1}{2r} |v_1 - v_2|. Расстояние от центра катушки до МЦВ равно r_2 + r. Значит

V_{ц} = \frac{r_2 + r}{2r} (v_1 - v_2) = (\frac{v_2}{v_1 - v_2} + \frac{1}{2}) (v_1 - v_2) = v_2 + \frac{v_1 - v_2}{2} = \frac{v_1 + v_2}{2}. Так как этот ответ симметричен относительно замены индексов, он также является ответом в общем случае, а не только в случае v_1 > v_2.

Ответ \omega = \frac{1}{2r} (v_1 - v_2) , V_{ц} = \frac{v_1 + v_2}{2}.

Задача 3

Условие

Катушка, зажатая между двумя параллельными досками, движущимися со скоростями v_1 и v_2 , катится по ним без проскальзывания. Найдите угловую скорость катушки и скорость её центра. Внутренний радиус катушки r , внешний R .

8.3 Решение

Так как катушка не проскальзывает по поверхностям, скорость её нижней точки равна v_2 , а верхней точки внутренней окружности v_1 . Так как обе скорости направлены горизонтально, а МЦВ находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек, мы понимаем, что МЦВ находится на вертикальной прямой, проходящей через центр диска. Пусть расстояние от верхней точки внутренней окружности до МЦВ равно r_1, а от нижней точки до МЦВ r_2. МЦВ не может находиться между упомянутыми точками катушки, потому что тогда катушка будет вращаться одновременно по и против часовой стрелки, что невозможно. Из связи между угловой и линейной скоростями

\omega = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_1}{r_1}. И раз МЦВ не может находиться между упомянутыми точками:

|r_1 - r_2| = R + r. Можем предположить, что r_1 > r_2. Тогда v_1 > v_2 и

\omega = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_1}{r_2 + R + r}. Откуда

1 + \frac{R + r}{r_2} = \frac{v_1}{v_2} \ \Rightarrow \ r_2 = (R + r) \frac{v_2}{v_1 - v_2}. Подставляя, находим угловую скорость

\omega = \frac{v_2}{(R + r) v_2} (v_1 - v_2) = \frac{v_1 - v_2}{R + r} . Возвращаясь к общему случаю, получаем

\omega = \frac{|v_1 - v_2|}{R + r}. Расстояние от центра катушки до МЦВ равно r_2 + r. Значит

V_{ц} = \frac{r_2 + r}{R + r} (v_1 - v_2) = v_2 + \frac{r}{R + r} (v_1 - v_2) = \frac{v_1 r + v_2 R}{R + r}. Это также является ответом в общем случае, а не только в случае v_1 > v_2.

Ответ \omega = \frac{|v_1 - v_2|}{R + r} , V_{ц} = \frac{v_1 r + v_2 R}{R + r} .

Задача 4

Условие

Конец нити, намотанной на катушку, тянут с горизонтальной скоростью v . С какой скоростью двигается центр катушки в тот момент, когда нить составляет угол \alpha с горизонтом? Внешний радиус катушки R , внутренний r . Катушка по столу и нить по катушке не проскальзывают.

8.4 Решение

Так как катушка не проскальзывает по поверхности, скорость её нижней точки равна 0. Значит это МЦВ катушки. Рассмотрим точку соприкосновения нити с катушкой. Назовём её точкой A . Пусть её скорость равна v_A, а расстояние от точки A до МЦВ равно r_A.

По теореме косинусов для треугольника <<МЦВ-центр-A>>

r_A^2 = r^2 + R^2 - 2rR \cos \alpha \ \Rightarrow \ r_A = \sqrt{r^2 + R^2 - 2rR \cos \alpha}. Пусть угол между скоростью v_A и нитью равен \beta. Тогда из теоремы синусов

\frac{R}{\sin (\pi - \beta)} = \frac{r}{\sin (\beta - \alpha)} \ \Rightarrow \ \frac{R}{r} = \frac{\sin \beta}{\sin \beta \cos \alpha - \sin \alpha \cos \beta} \ \Rightarrow \ r tg \beta = R(tg \beta \cos \alpha - \sin \alpha). Выражая

tg \beta = \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha - r} \ \Rightarrow \ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + tg ^2 \beta}} = \sqrt{\frac{R^2 \cos^2 \alpha - 2Rr \cos \alpha + r^2}{R^2 + r^2 - 2Rr \cos \alpha}}. Из кинематической связи для нерастяжимой нити:

v_A \cos \beta = v \cos \alpha \ \Rightarrow \ v_A = \frac{v \cos \alpha \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr \cos \alpha}}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha - 2Rr \cos \alpha + r^2}}. Из выражений для угловой скорости:

\omega = \frac{v_A}{r_A} = \frac{v_{ц}}{R} \ \Rightarrow \ v_{ц} = \frac{R}{\sqrt{r^2 + R^2 - 2rR \cos \alpha}} \frac{v \cos \alpha \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr \cos \alpha}}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha - 2Rr \cos \alpha + r^2}}. Откуда

v_{ц} = \frac{vR \cos \alpha}{\sqrt{R^2 \cos^2 \alpha - 2Rr \cos \alpha + r^2}} = \frac{vR \cos \alpha}{|R \cos \alpha - r|}. Ответ v_{ц} = \frac{vR \cos \alpha}{|R \cos \alpha - r|}.