Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. (Часть 1): Кинематика (Часть 1)

Задача 5

Условие

Палочка A B длины l движется в плоскости чертежа так, что в данный момент времени скорость её конца A направлена под углом \alpha , а скорость конца B - под углом \beta к палочке. Величина скорости конца A равна v . Определить величину скорости конца B .

8.5 Решение

Из кинематической связи для твёрдого тела

v \cos \alpha = v_B \cos \beta \ \Rightarrow \ v_B = v \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}. Ответ v_B = v \frac{\cos \alpha}{\cos \beta}.

Задача 6

Условие

Тяжёлый диск радиуса R скатывается на двух нерастяжимых нитях, намотанных на него. Свободные концы нитей закреплены. Нити при движении диска постоянно натянуты. В некоторый момент угловая скорость диска равна \omega , а угол между нитями \alpha . Какова в этот момент скорость центра диска?

8.6 Решение

Верхние концы нитей закреплены и неподвижны, значит из кинематической связи для нерастяжимой нити получаем, что скорости точек нитей в точках соприкосновения с диском перпендикулярны самим нитям.

Значит МЦВ расположен в точке пересечения прямых, содержащих нити. Получаем следующую картину

8.8 где точка A это МЦВ. Найдём расстояние AB, учитывая, что угол CBD равен \alpha. Пусть угол ABC равен \beta . Тогда

\begin{cases}

AB = \frac{BC}{\cos \beta} = \frac{R}{\cos \beta}\\

\\

AB = \frac{BD}{\cos (\alpha - \beta)} = \frac{R}{\cos (\alpha - \beta)}

\end{cases} Получается, что

\cos \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \ \Rightarrow \ tg \beta = \frac{1}{\sin \alpha} - ctg \alpha \ \Rightarrow \ \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha})^2}}. Упрощая

\cos \beta = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{\sin^2 \alpha + 1 + \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{2} \sqrt{1 - \cos \alpha}}. Подставляя, получаем

AB = \frac{\sqrt{2}R \sqrt{1 - \cos \alpha}}{\sin \alpha} Окончательно

v_{ц} = \omega \cdot AB = \frac{\sqrt{2}\omega R \sqrt{1 - \cos \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{2}\omega R}{\sqrt{1 + \cos \alpha}}. Ответ v_{ц} = \frac{\sqrt{2}\omega R}{\sqrt{1 + \cos \alpha}}.

Задача 7

Условие

Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которой закреплён, находится на горизонтальной подставке, движущейся поступательно с постоянной горизонтальной скоростью V . Найти скорость оси цилиндра в зависимости от угла \alpha , образуемого нитью с вертикалью. Относительно подставки цилиндр не проскальзывает.

8.7 Решение

Назовём точку соприкосновения нити с цилиндром A , а её скорость v_A. Нарисуем схему

8.9 Нижняя точка цилиндра не проскальзывает по поверхности, значит её скорость равна V. Пересядем в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вправо, и тогда нижняя точка является МЦВ цилиндра. Из теоремы косинусов получим расстояние l между точкой A и МЦВ

l = \sqrt{2R^2 - 2R^2 \cos (\alpha + \pi/2)} = \sqrt{2} R \sqrt{1 - \cos (\alpha + \pi/2)} = \sqrt{2} R \sqrt{1 - \sin \alpha}. Тогда получаем, что

v_A = \sqrt{2} \omega R \sqrt{1 - \sin \alpha}. Угол между v_A и нитью равен \pi/4 + \alpha/2 из геометрических соображений. Получаем из нерастяжимости нити

v \cos (\pi/2 - \alpha) = v_A \cos (\pi/4 + \alpha/2) \ \Rightarrow \ v_A = \sqrt{2} v \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha/2 - \sin \alpha/2}. Приравнивая

\omega = \frac{v}{R} \frac{\sin \alpha}{(\cos \alpha/2 - \sin \alpha/2)(\sqrt{1 - \sin \alpha})}. Вернёмся в лабораторную систему отсчёта

v_{ц} = \omega R + v = v (1 + \frac{\sin \alpha}{(\cos \alpha/2 - \sin \alpha/2)(\sqrt{1 - \sin \alpha})}) = v \frac{1}{1 + \sin \alpha}. Ответ v_{ц} = v \frac{1}{1 + \sin \alpha}.