Центрифуга, туман и вихри: Часть 1

Видео

Конспект

Центрифуга, туман и вихри

Нас будет интересовать возможность использования вращения для разделения веществ.

Каждый знает, как в ведре речной воды разделить воду, песок и пузырьки: просто надо подождать некоторое время - песчинки осядут на дно, пузырьки всплывут и лопнут над поверхностью, и останется чистая вода. В случае прозрачного сосуда видно, что частицы песка движутся с постоянной скоростью. Это означает, что сумма сил тяжести, архимедовой и сопротивления движению равна нулю.

Правда, это равновесие наступает не сразу. Например, если уронить стальной шарик в банку с водой, или с глицерином, или с медом, то некоторое время скорость его движения будет изменяться, пока не станет постоянной. Это «некоторое время» называется временем релаксации \tau . Говорят, что по истечении времени, значительно превышающего \tau ,

m \frac{d \vec{v}}{d t} \rightarrow 0 (здесь m - масса частицы, v - ее скорость).

Можно убедиться, что время \tau будет различным для упомянутых жидкостей, а также и для шариков разного размера в одной и той же жидкости. Если шарик маленький, а жидкость достаточно вязкая, можно считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения шарика, так что

\frac{\vec{F}_{\text {coпp }}}{m}=-\beta \vec{v}_{\text {отн }} (тут \beta - коэффициент, который зависит от свойств жидкости и размера шарика). Такие движения называют ползущими, а соответствующую силу - силой Стокса. В этом соотношении подчеркнуто, что имеется в виду скорость шарика относительно жидкости, которая сама тоже может двигаться с некоторой скоростью \vec{V} :

\vec{v}_{\text {отн }}=\vec{v}-\vec{V}. А что происходит в тумане? Там капельки воды висят в воздухе довольно долго (иногда часами). Но ведь они падают в поле тяготения Земли (сила Архимеда в этом случае пренебрежимо мала: плотность воды на три порядка больше плотности воздуха).

Нельзя ли ускорить разделение воздуха и капелек при помощи каких-либо других сил, например центробежной силы инерции? (Напомним, что о силах инерции имеет смысл говорить только в случае неинерциальных систем отсчета.) Эта сила успешно используется, скажем, при разделении масла и простокваши в центрифугах, где исходный продукт - молоко - приводится в быстрое вращение. Конечно, мы не собираемся вращать весь утренний туман над рекой или аэродромом. Такое вращение иногда возникает самостоятельно, например в вихрях, стекающих с крыла самолета при вираже, их можно наблюдать на аэрошоу. А можно специально закрутить поток, чтобы избавиться от сконденсировавшейся воды - например, чтобы предварительно осушить рабочий воздух в аэродинамических трубах (эта конденсация часто мешает проведению экспериментов). Или чтобы при помощи центробежной сепарации избавиться от микробов, содержащихся в воздyxe.

Итак, рассмотрим силы, возникавшие при движении частицы (капельки, пылинки) во вращающейся системе координат (см. рисунок). Тут надо поднапрячься и поработать.

лцентриф1 Пусть капелька в некоторый момент времени находится в точке A с радиусом-вектором \overrightarrow{O A} относительно центра вращения O . Представим ее скорость \vec{v} в виде проекций на систему единичных векторов, т.е. ортов, \overrightarrow{e_r} (радиальный) и \overrightarrow{e_\phi} (тангенциальный):

\vec{v}=v_r \cdot \overrightarrow{e_r}+v_\phi \cdot \vec{e}_\phi. Через некоторый отрезок времени \Delta t капелька окажется в точке B с другим радиусом-вектором \overrightarrow{O B} . Самое интересное здесь то, что орты \vec{e}_r, \vec{e}_\phi тоже изменятся - конечно, не по величине, поскольку это единичные вектора, а по направлению. Если время \Delta t мало, угол поворота \Delta \varphi радиуса-вектора капельки тоже мал (на рисунке для наглядности он изображен большим), и орты приобретут малые приращения

\overrightarrow{\Delta e}_r \underset{\rightarrow}{ } \overrightarrow{\Delta e}_\phi соответственно. Интересно сразу отметить, что \overrightarrow{\Delta e}_r \underset{\rightarrow}{\text { направлено вдоль } \vec{e}_\phi \text {, а } \Delta \vec{e}_\phi-} против \vec{e}_r . Эти приращения легко найти из треугольников с малым утлом \Delta \varphi при вершине B :

\begin{aligned}

& \Delta e_r=e_r \cdot 2 \operatorname{tg} \frac{\varphi}{2}, \Delta \vec{e}_r=\Delta \varphi \cdot \vec{e}_\psi \\

& \Delta e_\phi=e_\phi \cdot 2 \operatorname{tg} \frac{\varphi}{2}, \Delta \vec{e}_\psi=-\Delta \varphi \cdot \vec{e}_r

\end{aligned} Сейчас нам это понадобится, чтобы найти малое изменение скорости капельки:

\begin{aligned}

& \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \overrightarrow{\Delta v}=\Delta\left(v_r \cdot \vec{e}_r+v_{\varphi} \cdot \vec{e}_{\varphi}\right)=\Delta\left(v_r \cdot \vec{e}_r\right)+\Delta\left(v_{\varphi} \cdot \vec{e}_{\varphi}\right)= \\

& =\vec{e}_r \cdot \Delta v_r+v_r \cdot \Delta \vec{e}_r+\vec{e}_{\varphi} \cdot \Delta v_{\varphi}+v_{\varphi} \cdot \Delta \vec{e}_{\varphi} =\vec{e}_r \cdot \Delta v_r+v_r \Delta \varphi \cdot \vec{e}_{\varphi}+\vec{e}_{\varphi} \cdot \Delta v_{\varphi}-v_{\varphi} \Delta \varphi \cdot \vec{e}_r .

\end{aligned} Мы уже подставили сюда выражения для \Delta \vec{e}_r и \Delta \vec{e}_{\varphi} . А теперь, чтобы получить вектор ускорения, разделим все на \Delta t и сгруппируем слагаемые при единичных векторах \vec{e}_r и \vec{e}_{\varphi} :

\begin{aligned}

\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\vec{e}_r\left(\frac{\Delta v_r}{\Delta t}-v_{\varphi}\right. & \left.\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\right) +\vec{e}_{\varphi}\left(\frac{\Delta v_{\varphi}}{\Delta t}+v_r \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\right)

\end{aligned} Ясно, что в скобках получились проекции ускорения капельки в принятой нами вращающейся системе координат. Посмотрим на них внимательнее. Что такое \Delta \varphi / \Delta t ? Это угловая скорость v_{\varphi} / r . Использовав этот замечательный факт и приравняв радиальную и тангенциальную составляющие ускорения капельки соответствующим составляющим силы сопротивления, деленным на массу, получим

\begin{gathered}

\frac{\Delta v_r}{\Delta t}=\frac{v_{\varphi}^2}{r}-\beta\left(v_r-0\right), \\

\frac{\Delta v_{\varphi}}{\Delta t}=-\frac{v_r v_{\varphi}}{r}-\beta\left(v_{\varphi}-V_{\varphi}\right) .

\end{gathered}