Относительность движения. Движение вдоль одной прямой: Часть 1

Задача 1

Условие

Деревня находится на расстоянии L=70 км от города. Населённые пункты соединяет прямолинейный участок шоссе. Одновременно из города и деревни навстречу начинают движение легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля равна v=90 км/ч. На рисунке представлен график, на котором показано, как изменялось расстояние между ними с момента выезда до момента встречи. Найдите скорость автобуса. Какое время потребовалось автобусу на путь от места встречи до города? Считать, что автобус и автомобиль движутся с постоянными скоростями во время всего движения.

15.1.с (1) Решение

Из графика следует, что скорость сближения автомобиля и автобуса 140 км/ч. Следовательно, скорость автобуса равна 140 \ км/ч - 90 \ км/ч = 50 \ км/ч . Расстояние от места встречи до города равно произведению скорости автомобиля на время движения до встречи, или 45 км. Тогда, оставшееся время движения автобуса до города равно отношению расстояния к скорости автобуса: \frac{45 \ км}{50 \ км/ч} = 0.9 \ ч = 54 \ мин.

Ответ 50 \ км/ч ; 54 \ мин.

Задача 2

Условие

Два авианосца движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями. Скорость первого авианосца 20 км/ч, скорость второго - 30 км/ч. В момент, когда расстояние между кораблями равно 60 км, с первого авианосца взлетает вертолёт и движется по прямой ко второму авианосцу со скоростью 150 км/ч. Долетев до второго авианосца, вертолёт зависает на 18 минут над этим кораблём, и затем возвращается на первый авианосец, вновь двигаясь со скоростью 150 км/ч. Сколько времени вертолёт отсутствовал на первом авианосце? Найдите путь, пройденный вертолётом.

Решение

В первой части полёта вертолёт и второй авианосец сближаются со скоростью 180 км/ч. Значит, вертолёт долетит до второго авианосца за время t_1=\frac{60 \ км}{180 \ км}=20 \ мин. Затем в течение времени t_2=18 минут вертолёт двигался вместе со вторым авианосцем. За t_1+t_2=38 минут авианосцы сблизятся на 50 \ км/ч \cdot \frac{38}{60} ч = \frac{95}{3} \ км, и расстояние между ними будет равно \frac{85}{3} км. Скорость сближения вертолёта и первого авианосца 170 км/ч, обратный путь займёт время t_3=\frac{\frac{85}{3} \ км}{170 \ км/ч} = \frac{1}{6} \ ч = 10 \ мин. Полное время полёта t=t_1+t_2+t_3=48 \ мин. Вертолёт время t_1+t_3=30 мин двигался со скоростью 150 \ км/ч , а время t_2=18 мин двигался со скоростью 30 км/ч, поэтому путь, пройденный вертолётом, равен s=150 \ км/ч \cdot \frac{1}{2} ч + 30 \ км/ч \cdot \frac{3}{10} ч = 84 \ км.

Ответ t = 48 \ мин ; s = 84 \ км.

Задача 3

Условие

С линии старта одновременно в момент t=0 ушли две гоночные машины с ускорениями a_1(t)=a_0\left(1+\sqrt{2-\frac{t}{t_1}}\right) \quad \text { и } \quad a_2(t)=a_0 \sqrt{2-\frac{t}{t_1}}, соответственно. Начиная с момента времени t_1 скорость первой машины не изменялась, а вторая машина продолжила разгоняться с постоянным ускорением, пока в момент t_2 её скорость не сравнялась со скоростью первой машины. Каково расстояние \Delta S между автомобилями в этот момент времени?

Решение

Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым автомобилем. В ней первый автомобиль ехал с постоянным ускорением a_0 . К моменту t_1 он удалился от второго автомобиля на расстояние \Delta S_1=\frac{a_0}{2} t_1^2, и имел относительную скорость u=a_0 t_1 . В момент времени t_1 относительное ускорение первой машины изменилось. Следовательно, когда скорости машин равнялись, расстояние между ними увеличилось на \Delta S_2=\frac{u}{2}\left(t_2-t_1\right)=\frac{a_0 t_1}{2}\left(t_2-t_1\right). Таким образом, общее расстояние между машинами \Delta S=\Delta S_1+\Delta S_2=\frac{a_0 t_1 t_2}{2} .

Ответ \Delta S=\frac{a_0 t_1 t_2}{2} .

Поступательное движение системы отсчёта

Задача 4

Условие

Минимальное время, которое необходимо, чтобы переплыть в лодке реку, равно t_0 . Ширина русла реки равна H . Скорость течения реки постоянна в любом месте русла и в \beta раз больше скорости лодки (\beta>1) , плывущей в стоячей воде.

1) Найдите скорость лодки в стоячей воде.

2) На какое расстояние снесёт лодку за минимальное время переправы?

3) Определите наименьшее расстояние, на которое может снести лодку за время переправы.

4) Найдите время переправы лодки в том случае, когда её сносит на минимальное расстояние.

Решение

v_0=\frac{H}{t_0} . Скорость течения реки: u=\beta v_{0}, за время переправы лодку снесет на расстояние: L=u t_0=\beta v_0 t_0 . Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, равна (в векторной форме) \vec{v} = \vec{u} + \vec{v}_{O}

15.8.с Из рисунка видно, что минимальное расстояние L_{\min} сноса лодки соответствует случаю, когда скорость лодки \vec{v} направлена по касательной к окружности радиуса \vec{v}_{0} . Из подобия треугольников скоростей и расстояний, имеющих общий угол \alpha , получим: \frac{L_{\min }}{H}=\frac{v}{v_0}, и так как \vec{v} \perp \vec{v}_{0} , находим: L_{\min}=h \frac{v}{v_0}=h \cdot \frac{\sqrt{\left(u^2-v_0^2\right)}}{v_o}=H \sqrt{\left(\beta^2-1\right)}. Время переправы лодки, когда ее сносит на минимальное расстояние, равно: t=\frac{H}{v_0 \cos \alpha}=\frac{t_0}{\cos \alpha}=t_0 \cdot \frac{\beta}{\sqrt{\left(\beta^2-1\right)}} .

Ответ 1) v_0=\frac{H}{t_0} ; 2) L=\beta v_0 t_0 ; 3) L_{\min}=H \sqrt{\left(\beta^2-1\right)} ; 4) t=t_0 \cdot \frac{\beta}{\sqrt{\left(\beta^2-1\right)}} .