Маятники: Часть 1

Видео

Конспект

Маятники

Математический маятник

В физике математическим маятником называют идеальную систему: маленький тяжелый шарик (материальная точка), подвешенный на длинной, невесомой и нерастяжимой нити. Вся масса системы сосредоточена в шарике, а нить лишь задает направление. Несмотря на простоту, эта модель объясняет колебания огромного числа реальных систем — от люстры до качелей.

Рассмотрим силы действующие на шарик маятника. На шарик массой m в отклоненном положении действуют две силы: сила тяжести m\vec{g} и сила натяжения нити \vec{T} .

1 Движение маятника — это движение по дуге окружности радиуса L (длина нити). Поэтому, используя второй закон Ньютона, удобно разложить силы по двум направлениям: вдоль нити (к центру) и по касательной к траектории (вдоль дуги).

Возвращающая сила в математическом маятнике

При отклонении нити на угол \alpha сила тяжести раскладывается на две проекции. Составляющая mg \cos \alpha направлена вдоль нити, а составляющая mg \sin \alpha — перпендикулярно нити, по касательной к траектории.

Именно эта касательная составляющая силы тяжести, равная F_\tau = -mg \sin \alpha, заставляет шарик возвращаться к положению равновесия. Знак <<минус>> указывает, что сила всегда направлена против смещения.

По второму закону Ньютона в проекции на касательную: m a_\tau = -mg \sin \alpha.

Отсюда тангенциальное (касательное) ускорение, меняющее скорость маятника, равно: a_\tau = -g \sin \alpha.

Если (угол \alpha мал, то \sin \alpha \approx \alpha , и формула принимает знакомый вид гармонических колебаний: a_\tau = -g\alpha.

Нормальная сила в математическом маятнике

Нить не рвется и не растягивается — значит, в этом направлении выполняется баланс сил, заставляющий тело двигаться по окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную к точке подвеса (центру окружности).

На тело действуют сила натяжения T (к центру) и проекция силы тяжести mg \cos \alpha (от центра). Их равнодействующая создает нормальное (центростремительное) ускорение a_n : T - mg \cos \alpha = m a_n.

Здесь на сцену выходит кинематика криволинейного движения. Нормальное ускорение тела, движущегося со скоростью v по дуге радиуса L , вычисляется по формуле: a_n = \frac{v^2}{L}.

Подставляя это выражение в уравнение сил, получаем важнейший практический результат — силу натяжения нити в любой точке: T = m \left( g \cos \alpha + \frac{v^2}{L} \right).

Эта формула объясняет, почему нить может порваться именно в нижней точке.

Нижняя точка (угол \alpha = 0 ): Косинус максимален ( \cos 0 = 1 ), а скорость шарика максимальна (он разогнался под действием силы тяжести). Следовательно, и T , и a_n здесь достигают пика.

Крайние точки: Здесь шарик на мгновение замирает ( v = 0 ), значит a_n = 0 , и сила натяжения уравновешивает только проекцию тяжести: T = mg \cos \alpha_{\max} .

Бифилярный подвес

Бифилярный подвес — это тело, подвешенное на двух параллельных нитях одинаковой длины L . В состоянии равновесия нити вертикальны, а точки крепления к телу и потолку образуют симметричный прямоугольник.

2 Мёртвая петля

<<Мёртвая петля>> — классическая задача динамики криволинейного движения. Тело (самолёт, велосипедист, шарик в жёлобе) движется по вертикальной окружности радиуса R . Главный вопрос: какую минимальную скорость должно иметь тело в верхней точке, чтобы не сорваться вниз и замкнуть траекторию?

Положение в верхней точке петли

Рассмотрим тело массой m в самой верхней точке траектории. На него действуют две силы:

Сила тяжести m\vec{g} , направленная вертикально вниз (к центру окружности).

Сила реакции опоры \vec{N} . В зависимости от ситуации она может быть направлена:

Мы рассмотрим классический случай: тело движется по внутренней поверхности петли (например, велосипедист на треке или шарик в мёртвой петле). Здесь и сила тяжести, и реакция опоры в верхней точке направлены вертикально вниз — к центру окружности.

вниз (к центру) — если тело прижато к опоре сверху (самолёт в петле, где подъёмная сила крыла направлена к центру; или вагонетка на внутренней стороне петли);

вверх — если тело находится внутри вращающегося ведра или движется по наружной стороне <<горба>>.

Запишем уравнение движения в проекции на ось y , направленную из верхней точки к центру окружности (вертикально вниз). Положительное направление — к центру, потому что туда направлено нормальное ускорение \vec{a}_n .

По второму закону Ньютона: m\vec{a}_n = \vec{N} + m\vec{g}.

В скалярной форме для верхней точки, с учётом направления сил, получаем: m a_n = N + mg.

Вспоминаем формулу нормального (центростремительного) ускорения: a_n = \frac{v^2}{R}.

Подставляем её в уравнение: m \frac{v^2}{R} = N + mg.

Поскольку сила тяжести mg — величина постоянная, уменьшение mv^2/R приведёт к уменьшению силы реакции опоры N .

Тело перестаёт давить на опору в тот момент, когда сила N обращается в ноль. Это и есть критический режим. Если скорость станет ещё меньше, то сила тяжести окажется больше, чем требуется для искривления траектории по радиусу R , и тело начнёт падать внутрь окружности, не завершив петлю.

Приравниваем N = 0 в критической точке: m \frac{v_{\min}^2}{R} = 0 + mg.

Сокращаем массу m (удивительный факт: результат не зависит от массы!) и выражаем скорость: \frac{v_{\min}^2}{R} = g \Rightarrow v_{\min} = \sqrt{gR}.

Чтобы в верхней точке получить скорость v_{\min} = \sqrt{gR} , тело должно зайти в петлю с определённой скоростью v_0 в нижней точке (на высоте h = 0 ).

Разница в высоте между нижней и верхней точками составляет 2R . По закону сохранения механической энергии (трением пренебрегаем): \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_{\min}^2}{2} + mg \cdot (2R).

Подставляем v_{\min}^2 = gR : \frac{m v_0^2}{2} = \frac{mgR}{2} + 2mgR = \frac{5}{2} mgR.

Сокращаем массу и находим минимальную стартовую скорость в нижней точке для прохождения петли без падения: v_0 = \sqrt{5gR}.

“‘