Кинематические связи

Кинематические связи Кинематические связи Кинематическими связями называют некоторые ограничения, накладываемые на кинематические величины (скорости, координаты, ускорения), характеризующие движущиеся тела или системы тел, связанные со свойствами этих тел или систем. Для того чтобы применить кинематическую связь к конкретной ситуации нужно перевести связь с языка слов (например, <<нить нерастяжима>>) на язык неравенств и уравнений (в использованном примере $\Delta L \leq 0.$) Одной из основных связей, является связь, налагаемая твёрдым телом. Поговорим о ней подробнее. Кинематика твёрдого тела Твёрдое тело это физическая модель тела, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно. Запишем в виде формулы $$\Delta L_{1-2} = 0,$$ если мы продифференцируем это уравнение, то получим, что $$v_{1-2} = 0,$$ где $v_{1-2}$ это скорость относительного движения точек по оси, связывающей эти точки. Иначе говоря, $$v_{1z} = v_{2z},$$ где $Z$ это ось, связывающая точки 1 и 2. Есть три принципиальных варианта движения твёрдого тела. 1) Поступательное движение. В этом случае. скорость всех точек тела одинакова и любая из его точек движется по прямой. 2) Вращательное движение. Существует некоторая точка тела, скорость которой равна 0 (эта точка называется мгновенным центром вращения или МЦВ ), остальные точки тела движутся по окружностям вокруг этой точки. Докажем, что угловая скорость всех точек тела в этом случае постоянна. Рассмотрим две точки тела, ни одна из которых не является МЦВ. Перпендикуляры к их скоростям пересекаются в МЦВ, так как скорость, при движении по окружности, направлена по касательной к ней. Пусть угол 1-МЦВ-2 равен $\alpha$, расстояние между точками 1 и 2 равно $L$, между 1 и МЦВ $L_1$, между 2 и МЦВ $L_2$, а угол между $v_1$ и направлением 1-2 равен $\beta$. Тогда по теореме синусов $$\frac{L}{\sin \alpha} = \frac{L_2}{\cos \beta} = \frac{L_1}{\cos (\beta - \alpha)},$$ угловая скорость первой точки равна $$\omega_1 = v_1/L_1,$$ а второй $$\omega_2 = v_2/L_2.$$ При этом, из формулы, выведенной ранее $$v_1 \cos \beta = v_2 \cos (\alpha - \beta).$$ Начинаем собирать это всё вместе: $$\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{v_1}{v_2} \frac{L_2}{L_1} = \frac{\cos (\alpha - \beta)}{\cos \beta} \frac{\cos \beta}{\cos (\beta - \alpha)} = 1,$$ что и требовалось доказать. Вернёмся к перечислению вариантов движения твёрдого тела и разберём последний. 3) Смешанное движение. Это сумма двух предыдущих движений. Существует точка, движущаяся поступательно, относительно которой все остальные точки тела вращаются в данный момент. Обратите внимание, ТОЛЬКО в данный момент, в следующий момент это может быть уже другая точка. Скольжение/качение без отрыва Если некоторая материальная точка движется без отрыва по некоторой поверхности, математически это задаётся условием равенством скоростей точки и опоры в проекции на ось, перпендикулярную поверхности, по которой движется точка. Если без отрыва движется тело, не являющееся материальной точкой, это условие применимо к тем его точкам, которые в данный момент соприкасаются с опорой. Качение без проскальзывания Если говорят, что некоторое тело движется по поверхности без проскальзывания, это означает, что точки тела, которые соприкасаются с поверхностью имеют те же скорости в проекции на ось касательную к поверхности, что и точки поверхности, с которыми соприкасается тело. В частном случае, когда поверхность неподвижна, точки тела, соприкасающиеся с ней не имеют тангенциальной проекции скорости. Разберём движение колеса. Пример 1 Колесо движется по плоской неподвижной поверхности без отрыва и проскальзывания. Центр колеса имеет скорость $v$, направленную вдоль поверхности. Найдём скорости точек колеса, отмеченных на рисунке. Поверхность неподвижна, значит, так как колесо движется без проскальзывания, у скорости точки 4 нет проекции на горизонтальную ось. Так как колесо движется без отрыва, у точки 4 так же нет и проекции на вертикальную ось. То есть точка 4 полностью неподвижна, а значит является мгновенным центром вращения для колеса. Значит скорость всех остальных точек можно рассчитать, вычислив угловую скорость колеса. $$\omega = \frac{v}{R},$$ где $R$ это радиус колеса. Расстояние до точек 1 и 3 равно $\sqrt{2}R,$ до точки 2 расстояние равно $2R$. Значит $v_1 = v_3 = \omega \sqrt{2} R = \sqrt{2}v,$ причём скорости обеих точек направлены перпендикулярно отрезку, соединяющему их с точкой 4, <<вправо>>. $v_2 = \omega 2R = 2v$ и направлена горизонтально, вправо.