Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. (Часть 2): Часть 1
Физика, 9 класс
Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания
Задача 1
Условие
Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и землёй, касается дна кузова грузовика на высоте H от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла \alpha между ним и горизонталью, если грузовик отъезжает от стены со скоростью u .
Решение
За время \Delta t грузовик отъедет на расстояние
\Delta l=v \Delta t. 8.10 При этом бревно чуть опустится, повернувшись на малый угол \Delta \alpha . Если длина дуги поворота \Delta x , то по определению радианной меры угла
\Delta \alpha=\frac{\Delta x}{R}. Угловая скорость определяется как
\omega=\frac{\Delta \alpha}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{R \Delta t}. Но \Delta x=v \Delta t \sin \alpha .
\omega=\frac{v \Delta t \sin \alpha}{R \Delta t}=\frac{v \sin \alpha}{R}. Также можно записать, что
H=R \sin \alpha. С учетом этого
\omega=\frac{v \sin ^2 \alpha}{H} Ответ \omega=\frac{v \sin ^2 \alpha}{H} .
Задача 2
Условие
Стержень, одним концом шарнирно закреплённый на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня \omega . Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла \alpha между стержнем и плоскостью.
Решение
8.11 Рассмотрим изменение координаты x = AC за малый промежуток времени dt
dx = d(\frac{R}{tg \alpha/2}). Делим обе части на dt
\frac{dx}{dt} = \frac{d(\frac{R}{ tg \alpha /2})}{dt}. Учитывая, что \omega = \frac{d \alpha}{dt} и v = \frac{dx}{dt}
v = \frac{\omega R}{2 \sin^2 (\frac{\alpha}{2})}. Запишем условие отсутствия проскальзывания
\omega ' R = v. Отсюда
\omega' = \frac{\omega}{2 \sin^2 (\alpha/2)}. Ответ \omega' = \frac{\omega}{2 \sin^2 (\alpha/2)}.
Задача 3
Условие
Между зубчатыми колёсами радиусами R и r находится в зацеплении ролик. Колёса вращаются в противоположные стороны с угловыми скоростями \omega_1 и \omega_2 . Какова будет угловая скорость вращения ролика вокруг собственной оси? Куда и с какой скоростью будет двигаться ось ролика?
8.12 Решение
Из-за отсутствия проскальзывания точки ролика, соприкасающиеся с внутренним и внешним колёсами, соответственно, будут равны \omega_2 r и \omega_1 R . Далее задача полностью сводится к первым задачам семинара.
\omega = \frac{\omega_1 R + \omega_2 r}{R - r}. v_{ц} = \frac{(R - r) R \omega_1}{\omega_2 r + \omega_2 R}. Ответ \omega = \frac{\omega_1 R + \omega_2 r}{R - r}, v_{ц} = \frac{(R - r) R \omega_1}{\omega_2 r + \omega_2 R}.