Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. (Часть 2): Часть 2

Задача 4

Условие

С высокого берега озера за верёвку подтягивают лодку. К верёвке привязан флажок (см. рисунок). В момент, когда флажок оказался в точке С посередине между А и В, верёвка была направлена под углом \alpha=60^{\circ} к горизонту. Найдите скорость флажка в этот момент, если известно, что скорость лодки u = 1 м/с.

8.13 Решение

Рассмотрим проекции скорости точки C на направления вдоль веревки и перпендикулярно ей: v_{п} и v_L . Так как веревка нерастяжима,

v_{п}=u_{п}=u \cos \alpha В системе отсчета, движущейся со скоростью \overrightarrow{v_{п}} , точки B и C в данный момент времени вращаются вокруг общего центра (точки A на веревке) со скоростями v_L и u_L . Так как A B / A C=2 , то

v_L=\frac{1}{2} u_L=\frac{1}{2} u \sin \alpha. Тогда

v=\sqrt{v_{п}^2+v_L^2}=u \sqrt{\cos^2 \alpha+\frac{1}{4} \sin ^2 \alpha} \approx 0.66 м/с. 8.14 Ответ v \approx 0.66 м/с.

Задача 5

Условие

Поступательно в горизонтальном направлении перемещают доску с постоянной скоростью v . По её плоской горизонтальной поверхности без проскальзывания со скоростью 2v катится колесо радиусом R , двигаясь в противоположном направлении.

1. С какой угловой скоростью вращается колесо?

2. Как направлена и чему равна скорость точки А? точки B?

8.15 Решение

8.16 Перейдем в СО доски. Тогда у центра колеса скорость станет равной 3 v , а угловая скорость

\omega=\frac{3 v}{R}. По теореме о мгновенном центре скоростей (или из подобия треугольников) имеем, что скорость точки А в СО доски направлена вправо и равна

v_{A 1}=\omega \cdot 2 R=6 v. Тогда в СО Земли скорость точки А

v_A=v_{A 1}-v=5 v. Скорость точки В в СО доски из теоремы о мгновенном центре скоростей направлена перпендикулярно прямой, соединяющей точку В и нижнюю точку колеса, и равна v_{B 1}=\omega R \sqrt{2}=3 \sqrt{2} v ( R \sqrt{2} - радиус вращения точки В вокруг мгновенного центра скоростей). В СО Земли по теореме косинусов имеем

v_B=\sqrt{v^2+v_{B 1}^2-2 v v_{B 1} \cos 45^{\circ}}=\sqrt{13} v. Ответ 1. \omega=\frac{3 v}{R} ; 2. v_Av=5 v , v_B=\sqrt{13} v .

Задача 6

Условие

По рельсам катится с постоянной скоростью вагонетка. Радиус её колеса равен r , а радиус реборды (бортика, выступающего за обод колеса и предохраняющего колесо от схода с рельса) существенно больше. В некоторый момент времени скорости двух диаметрально противоположных точек A и B обода равны по модулю v_A и v_B соответственно (см. рисунок).

8.17 С какой скоростью v_0 катится колесо?

В тот же момент времени скорость некоторой точки C , находящейся на реборде, направлена вертикально и равна v_C . Однозначно ли определяется положение этой точки?

Чему равна проекция ускорения a_{C y} этой точки на вертикальную координатную ось?

Решение

Скорости точек A и B можно выразить через скорость поступательного движения колеса как целого и скорость вращательного движения. Но проще воспользоваться идеей о мгновенной оси вращения для тела, катящегося без проскальзывания. Обозначим точку касания колеса с рельсом буквой D . Скорость этой точки равна нулю. Ось, проходящая через точку D - мгновенная ось вращения всех точек колеса. Пусть расстояние A D=L , а расстояние B D=l (см. рисунок).

8.18 Предположим, что угловая скорость вращения колеса равна \omega . Тогда скорость v_A=\omega L , скорость v_B=\omega l , а скорость колеса v_0=\omega r . По условию A B=2 r . Угол A B D прямой, так как опирается на диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора

L^2+l^2=(2 r)^2. Умножим это равенство на квадрат угловой скорости:

L^2 \omega^2+l^2 \omega^2=(2 r)^2 \omega^2. Легко видеть, что получившееся выражение эквивалентно равенству

v_A^2+v_B^2=\left(2 v_0\right)^2. Следовательно, искомая скорость

v_0=\frac{\sqrt{v_A^2+v_B^2}}{2}. Поскольку вектор скорости точки C направлен вертикально, эта точка должна находиться на одном уровне с рельсом, а её скорость v_C=\omega x , где x=C D . Таких точек две: по одной слева и справа от мгновенной оси вращения (точки D ).

Пусть расстояние O C от оси колеса до точки C равно R . Ускорение любой заданной точки колеса одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Найдем ускорение точки в системе отсчёта движущейся, как и центр колеса, поступательно со скоростью v_0 . Ускорение

a_C=\omega^2 R=\left(\frac{v_0}{r}\right)^2 R. Его проекция на вертикальную ось

a_{C y}=a_C \frac{r}{R}=\left(\frac{v_0}{r}\right)^2 R \frac{r}{R}=\frac{v_0^2}{r}=\frac{v_A^2+v_B^2}{4 r} и одинакова для всех точек колеса, находящихся на одном уровне с рельсом!

Ответ v_0=\frac{\sqrt{v_A^2+v_B^2}}{2} , a_{C y}=\frac{v_A^2+v_B^2}{4 r} .