Гидрокинематика и гидродинамика

Гидрокинематика и гидродинамика Задача 1 Условие В дне цилиндрического сосуда диаметром $D=0.5$ м имеется круглое отверстие с диаметром $d=1 \ см$. Найдите зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты $h$ этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты $h=0.2 \ м$. Решение По теореме Бернулли $$\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho g h_2=\frac{\rho v_2^2}{2}$$ или $$v_1^2+2 g h = v_2^2,$$ где $v_1$ - скорость понижения уровня воды в сосуде, $v_2$ - скорость вытекания воды из отверстия. В силу неразрывности струи $$v_1 S_1=v_2 S_2,$$ откуда $$v_2=\frac{v_1 S_1}{S_2},$$ где $S_1$ - площадь поперечного сечения сосуда, $S_2$ площадь поперечного сечения отверстия. Подставляя из второго уравнения в первое, получим $$v_1=\frac{S_2 \sqrt{2 g h}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}.$$ Так как $$S_1=\frac{\pi D^2}{4}$$ и $$S_2=\frac{\pi d^2}{4},$$ то $$v_1=\frac{d^2 \sqrt{2 g h}}{\sqrt{D^4-d^4}}.$$ Поскольку $$d^4 \ll D^4,$$ то $$v_1 \approx \frac{d^2}{D^2} \sqrt{2 g h}.$$ При $h=0.2 \ м$ скорость $v_1=0.8 \ мм/с$. Ответ $v_1=0.8 \ мм/с$. Задача 2 Условие На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии $h_1$ от дна сосуда и на расстоянии $h_2$ от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии $l$ от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если: а) $h_1=25 \ см, \ h_2=16 \ см$; б) $h_1=16 \ см, \ h_2=25 \ см$? Решение По теореме Бернулли $$\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho g h_2=\frac{\rho v_2^2}{2}$$ или $$v_1^2+2 g h = v_2^2,$$ где $v_1$ - скорость понижения уровня воды в сосуде, $v_2$ - скорость вытекания воды из отверстия. По условию $v_1=0$, тогда $$v_2=\sqrt{2 g h_2}.$$ Высота $$h_1=\frac{g t^2}{2}.$$ Откуда время $$t=\sqrt{2 h_1 / g},$$ тогда расстояние $$l=v_2 t;$$ $$l=\sqrt{4 h_1 h_2}=2 \sqrt{h_1 h_2};$$ $$l=0.4 \ м.$$ Ответ В обоих случаях $l=2 \sqrt{h_1 h_2}$. Задача 3 Условие Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда. Кран $K$ находится на расстоянии $h_2=2$ см от дна сосуда. Найти скорость $v$ вытекания воды из крана в случае, если расстояние между нижним концом трубки и дном сосуда: а) $h_1=2 \ см$; б) $h_1=7.5 \ см$; в) $h_1=10 \ см$. Решение По закону сохранения энергии $$W_{п}=W_{к},$$ где $$W_{п}=m g \Delta h=m g (h_1-h_2)$$ - потенциальная энергия водного столба над краном. $$W_{к}=\frac{m v^2}{2}$$ - кинетическая энергия вытекающей воды. Подставляя $$m g\left(h_1-h_2\right)=\frac{m v^2}{2},$$ отсюда $$v^2=2 g\left(h_1-h_2\right) \ и \ v=\sqrt{2 g\left(h_1-h_2\right)}.$$ a) При $h_1=0.02 \ м, \ h_1=h_2$, следовательно, $\Delta h=0$ и $v=0$. б) При $h_1=0.075 \ м, \ v=1.04 \ м/с$. в) При $h_1=0.1 \ м, \ v=1.25 \ м/с$. Ответ а) $0$; б) $ v=1.04 \ м/с$; в) $v=1.25 \ м/с$. Задача 4 Условие Цилиндрической бак высотой $h=1$ м наполнен до краев водой. За какое время $t$ вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь $S_2$ поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте $h=1$ м от отверстия. Решение Ранее уже была получена формула, выражающая скорость понижения уровня воды в баке $$v_1=\frac{S_2 \sqrt{2 g x}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}.$$ Здесь $x$ это переменный уровень воды в баке. За время $dt$ уровень воды в баке понизится на $$d x=v \cdot d t=\frac{S_2 \sqrt{2 g}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}} \sqrt{x} d t.$$ Решаем это уравнение: $$t=\frac{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}} \int\limits_0^h \frac{d x}{\sqrt{x}};$$ $$ t=\left.\frac{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}} 2 \sqrt{x}\right|_0 ^{h};$$ $$t=\frac{2 \sqrt{h} \sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}}.$$ Подставив числовые данные, получим $t=3$ мин. Ответ $t=3$ мин.