Гидрокинематика и гидродинамика: Часть 1

Задача 1

Условие

В дне цилиндрического сосуда диаметром D=0.5 м имеется круглое отверстие с диаметром d=1 \ см . Найдите зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты h=0.2 \ м .

Решение

По теореме Бернулли \frac{\rho v_1^2}{2}+\rho g h_2=\frac{\rho v_2^2}{2} или v_1^2+2 g h = v_2^2, где v_1 - скорость понижения уровня воды в сосуде, v_2 - скорость вытекания воды из отверстия. В силу неразрывности струи v_1 S_1=v_2 S_2, откуда v_2=\frac{v_1 S_1}{S_2}, где S_1 - площадь поперечного сечения сосуда, S_2 площадь поперечного сечения отверстия.

Подставляя из второго уравнения в первое, получим v_1=\frac{S_2 \sqrt{2 g h}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}. Так как S_1=\frac{\pi D^2}{4} и S_2=\frac{\pi d^2}{4}, то v_1=\frac{d^2 \sqrt{2 g h}}{\sqrt{D^4-d^4}}. Поскольку d^4 \ll D^4, то v_1 \approx \frac{d^2}{D^2} \sqrt{2 g h}. При h=0.2 \ м скорость v_1=0.8 \ мм/с .

Ответ v_1=0.8 \ мм/с .

Задача 2

Условие

На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии h_1 от дна сосуда и на расстоянии h_2 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии l от сосуда (по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если:

а) h_1=25 \ см, \ h_2=16 \ см ;

б) h_1=16 \ см, \ h_2=25 \ см ?

Решение

По теореме Бернулли \frac{\rho v_1^2}{2}+\rho g h_2=\frac{\rho v_2^2}{2} или v_1^2+2 g h = v_2^2, где v_1 - скорость понижения уровня воды в сосуде, v_2 - скорость вытекания воды из отверстия. По условию v_1=0 , тогда v_2=\sqrt{2 g h_2}. Высота h_1=\frac{g t^2}{2}. Откуда время t=\sqrt{2 h_1 / g}, тогда расстояние l=v_2 t; l=\sqrt{4 h_1 h_2}=2 \sqrt{h_1 h_2}; l=0.4 \ м.

Ответ В обоих случаях l=2 \sqrt{h_1 h_2} .

Задача 3

Условие

Сосуд, наполненный водой, сообщается с атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда. Кран K находится на расстоянии h_2=2 см от дна сосуда. Найти скорость v вытекания воды из крана в случае, если расстояние между нижним концом трубки и дном сосуда:

а) h_1=2 \ см ;

б) h_1=7.5 \ см ;

в) h_1=10 \ см .

Решение

По закону сохранения энергии W_{п}=W_{к}, где W_{п}=m g \Delta h=m g (h_1-h_2) - потенциальная энергия водного столба над краном. W_{к}=\frac{m v^2}{2} - кинетическая энергия вытекающей воды.

Подставляя m g\left(h_1-h_2\right)=\frac{m v^2}{2}, отсюда v^2=2 g\left(h_1-h_2\right) \ и \ v=\sqrt{2 g\left(h_1-h_2\right)}.

a) При h_1=0.02 \ м, \ h_1=h_2 , следовательно, \Delta h=0 и v=0 .

б) При h_1=0.075 \ м, \ v=1.04 \ м/с .

в) При h_1=0.1 \ м, \ v=1.25 \ м/с .

Ответ а) 0 ; б) v=1.04 \ м/с ; в) v=1.25 \ м/с .

Задача 4

Условие

Цилиндрической бак высотой h=1 м наполнен до краев водой. За какое время t вся вода выльется через отверстие, расположенное у дна бака, если площадь S_2 поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема воды, если бы уровень воды в баке поддерживался постоянным на высоте h=1 м от отверстия.

Решение

Ранее уже была получена формула, выражающая скорость понижения уровня воды в баке v_1=\frac{S_2 \sqrt{2 g x}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}. Здесь x это переменный уровень воды в баке. За время dt уровень воды в баке понизится на d x=v \cdot d t=\frac{S_2 \sqrt{2 g}}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}} \sqrt{x} d t. Решаем это уравнение: t=\frac{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}} \int\limits_0^h \frac{d x}{\sqrt{x}}; t=\left.\frac{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}} 2 \sqrt{x}\right|_0 ^{h}; t=\frac{2 \sqrt{h} \sqrt{S_1^2-S_2^2}}{S_2 \sqrt{2 g}}. Подставив числовые данные, получим t=3 мин.

Ответ t=3 мин.