Кинематические связи.: Кинематика

Задача 1

Условие

На одном конце верёвки, переброшенной через невесомый неподвижный блок, находится груз массой m , а на другом - обезьяна массой 3 m . Обезьяна поднимается вверх с ускорением a_{отн}=2g относительно верёвки. Каково его ускорение относительно земли? (Блок и верёвку считать невесомыми.)

Решение

Уравнение второго закона Ньютона для груза имеет вид T - mg = ma , где T - сила натяжения веревки; a это переносное ускорение системы <<груз-веревка>>.

Для обезьяны уравнение второго закона Ньютона следующее: T - 3mg =3 m(a_{отн} - a) , так как ускорение a направлено навстречу ускорению a_{отн} . Решая эти уравнения, найдем

a=\frac{3 a_{отн}-2 g}{4}. Абсолютное ускорение обезьяны в неподвижной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, равно:

a_{абс}=a_{отн}-a=\frac{a_{отн}-2 g}{4} = 0. Ответ 0.

Задача 2

Условие

Между двумя одинаковыми гладкими брусками массы m каждый вставлен клин массы M с углом \alpha . Определите ускорения тел.

7.1 Решение

Понятно, что из симметрии ускорение клина A направлено вертикально вниз, а ускорения боковых грузов a направлены влево (для левого груза) и вправо (для правого груза).

Допустим, что клин опустился на небольшое расстояние dX . В таком случае и точки касания опустились на dX. При этом пусть грузы сдвинулся на dx каждый. При этом из подобия треугольников dx/dX = tg \alpha.

Продифференцировав это уравнение по времени дважды получим

a = Atg (\alpha/2). Запишем второй закон Ньютона для клина и грузов:

\begin{cases}

MA = Mg - 2 N \sin (\alpha/2) \\

ma = N \cos (\alpha/2)

\end{cases} Решая систему, получаем:

\begin{cases}

A = \frac{M g}{M+2 m tg ^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \\ \\

a = \frac{M g tg (\alpha / 2)}{M+2 m tg ^2(\alpha / 2)}

\end{cases} Ответ A = \frac{M g}{M+2 m tg ^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}, \quad a = \frac{M g tg (\alpha / 2)}{M+2 m tg ^2(\alpha / 2)} .

Задача 3

Условие

Между двумя неподвижными муфтами может без трения перемещаться вниз и вверх стержень, масса которого m . Стержень нижним концом касается гладкой поверхности клина массы M . Клин лежит на гладком горизонтальном столе. Определить ускорения клина и стержня.

7.2 Решение

Пусть ускорение клина A (направлено влево), ускорение стержня a (направлено вниз). Аналогично предыдущей задаче

A tg \alpha = a. Запишем второй закон Ньютона для клина и стержня

\begin{aligned}

& m a = m g - N \cos \alpha; \\

& M A = N \sin \alpha .

\end{aligned} Решая систему, получаем

\begin{aligned}

& a = g \sin^2 \alpha \\

& A = g \sin \alpha \cos \alpha.

\end{aligned} Ответ a = g \sin^2 \alpha ; A = g \sin \alpha \cos \alpha.