Кинематические связи.: Кинематика

Задача 4

Условие

Система из трёх одинаковых шаров, связанных одинаковыми пружинами, подвешена на нити. Нить пережигают. Найдите ускорения шаров сразу после пережигания нити.

7.3 Решение

Пружины не могут изменить растяжение мгновенно. Соответственно, нижние два шара никак не изменят своё ускорение мгновенно и их ускорение равно 0.

До пережигания, сила натяжения нити была равна 3mg , потому что на ней держалась вся система. После пережигания сумма сил упругости пружин, соединённых с верхним шаром, равна тем же 3mg. Значит ускорение верхнего шара равно 3g.

Ответ 3g.

Задача 5

Условие

На гладкий жёсткий неподвижный стержень, образующий угол \alpha с горизонтом, надето колечко A массы m_1 , которое может скользить по стержню без трения. K колечку при помощи невесомой нити A B прикреплён грузик B массы m_2 . Первоначально колечко удерживают рукой таким образом, что нить A B вертикальна. Чему будет равно натяжение нити в первый момент времени после того, как колечко отпустят?

7.4 Решение

После того как колечко отпустят, оно начнет двигаться с ускорением a_1 , направленным вдоль стержня. Соответствующее уравнение движения в проекции на стержень запишем в виде

m_1 a_1=m_1 g \sin \alpha+T \sin \alpha, где T -сила натяжения веревки.

Грузик в первый момент времени будет двигаться вертикально вниз с ускорением a_2 , при этом

m_2 a_2=m_2 g-T. Учитывая нерастяжимость веревки, получим связь ускорения колечка a_1 и грузика a_2 в виде

a_1 \sin \alpha=a_2. Решая полученную систему уравнений, найдем выражение для силы натяжения веревки в начальный момент времени:

T=\frac{m_1 m_2 g(1-\sin \alpha)}{m_1+m_2 \sin \alpha}. Ответ \frac{m_1 m_2 g(1-\sin \alpha)}{m_1+m_2 \sin \alpha}.

Задача 6

Условие

Тела массами m_1 и m_2 соединены пружиной жёсткости k . На тело массы m_2 действует постоянная сила F , направленная вдоль пружины к телу массы m_1 . Найдите, насколько сжата пружина, если никаких других внешних сил нет, а колебания уже прекратились. Каким будет ускорение тел сразу же после прекращения действия силы F?

7.5 Решение

Пружина в данной задаче является связью, которую можно заменить соответствующими реакциями связи F_1 и F_2 , причём, эти силы, вызванные упругостью пружины, будут равны по модулю и противоположны по направлению.

Рассматривая далее тела как свободные, можно записать следующие уравнения

\left.\begin{array}{l}

-k \Delta x=m_1 a, \\

k \Delta x+F=m_2 a

\end{array}\right\}, \Rightarrow \Delta x=\frac{Fm_1}{k\left(m_1+m_2\right)} Для тел в отсутствии силы F уравнения второго закона Ньютона примут вид

\begin{gathered}

-k \Delta x=m_1 a_1, \quad a_1=-\frac{F}{m_1 + m_2} \\ \\

k \Delta x=m_2 a_2, \quad a_2=\frac{Fm_1}{m_2(m_1 + m_2)}

\end{gathered} Ответ \Delta x=\frac{Fm_1}{k\left(m_1+m_2\right)} ; a_1=-\frac{F}{m_1 + m_2} ; a_2=\frac{Fm_1}{m_2(m_1 + m_2)} .

Задача 7

Условие

Тело массы m соединено двумя пружинами жёсткости k_1 и k_2 с неподвижными стенками, пружины первоначально не деформированы. При возникших колебаниях наибольшее ускорение тела равно a . Найдите максимальное отклонение тела от положения равновесия и максимальные силы, с которыми пружины действуют на стенки.

7.6 Решение

Пружины в данной задаче соединены параллельно, их деформация одинакова

\Delta x_1=\Delta x_2=\Delta x. Сила, действующая на массу со стороны пружин. определится в виде суммы

F=F+F_1, или k \Delta x=k_1 \Delta x+k_2 \Delta x.

Запишем уравнение движения массы под действием эквивалентной пружины жёсткостью k , что позволит определить максимальное смещение

\begin{gathered}

m a=\left(k_1+k_2\right) \Delta x_{\max } \\

\Delta x_{\max }=m a /\left(k_1+k_2\right)

\end{gathered} Максимальные значения сил, действующих на массу

\begin{aligned}

& F_{1 \max }=k_1 \Delta x_{\max } \\

& F_{2 \max }=k_2 \Delta x_{\max }

\end{aligned} Решая, получаем

\begin{gathered}

x_{макс}=m a /\left(k_1+k_2\right) ; \\

F_{1_{макс}}=k_1 x_{макс} ;

F_{2_{макс}}=k_2 x_{макс}

\end{gathered} Ответ x_{макс}=m a /\left(k_1+k_2\right) ; F_{1_{макс}}=k_1 x_{макс} ; F_{2_{макс}}=k_2 x_{макс} .

Задача 8

Условие

Найдите ускорение груза массой m в показанной бесконечной системе.

7.7 Решение

Сумма масс всех грузов равна 2m . Тогда груз массой m уравновешивает всю левую систему. Ускорение всех грузов равно 0.

Ответ 0.