Баллистика: Часть 1

Баллистика

Попробуем понять, по какой траектории и по какому закону движется камень, брошенный с Земли под некоторым углом к горизонту. На тело действует постоянное ускорение \vec{g} , значит векторный закон движения (равноускоренного) довольно прост:

\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{g}t^2}{2}. Вполне можно спроецировать этот закон на оси X (горизонтальную, направленную по направлению броска) и Y (вертикальную, направленную вверх). Тогда получится:

\begin{cases}

x = x_0 + v_{0x} t \\

y = y_0 + v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}

\end{cases} Для простоты скажем, что x_0 = y_0 = 0 , тогда

\begin{cases}

x = v_{0x} t \\

y = v_{0y} t - \frac{g t^2}{2}

\end{cases} Выразим t(x) и подставим во второе уравнение

y = x \frac{v_{0y}}{v_{0x}} - \frac{g x^2}{2v_{0x}^2}. Если угол между горизонтом и начальной скоростью равен \alpha, тогда v_{0x} = v_0 \cos \alpha, \ v_{0y} = v_0 \sin \alpha. Получаем

y = x \tg \alpha - x^2 \frac{g}{2v_{0}^2 \cos^2 \alpha} . Как видим, зависимость y(x) квадратичная, то есть траектория полёта камня это парабола, с вертикальной осью симметрии и вершиной в верхней точки траектории.

л6.1 (1) Кроме того, понятно, что закон движения по оси X отображает равномерное движение, закон движения по оси Y отображает равноускоренное движение.

Как видно, горизонтальная проекция скорости постоянна, а в верхней точки траектории и вовсе совпадает с модулем полной скорости.

Найдём несколько характерных для траектории величин: общее время полёта \tau, общую дальность полёта L, максимальную высоту подъёма H .

Для нахождения общего времени скажем, что координата y в последней точке траектории равна 0. Значит

0 = v_{0} \tau \sin \alpha - \frac{g \tau^2}{2}. \tau (v_0 \sin \alpha - \frac{g \tau}{2}) = 0. Мы видим что есть два подходящих корня

\tau = 0 \ и \ \tau = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}. Первый определяет первое время, когда y = 0, собственно, начальный момент. Второй это то, что мы искали:

\tau = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}. Из симметричности параболы следует, что верхняя точка параболы достигается через время \tau/2 , а также, что конечная скорость равна начальной (что следует и из закона сохранения энергии). Значит

H = y(\tau/2) = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \frac{g}{2} \frac{4v_0^2 \sin^2 \alpha}{g^2} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}. А дальность определяется довольно похоже:

L = x(\tau) = \frac{2v_0^2 \cos \alpha \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}. Так как \sin 2 \alpha \leq 1, \ а \ \sin 2 \alpha = 1 \ \Rightarrow \ \alpha = \pi/4. Значит максимальная дальность броска достигается при \alpha = \pi/4.

Потенциальная и кинетическая энергия в баллистике

Для нахождения формулы кинетической энергии по ходу броска найдём формулу для модуля полной скорости и её проекций на оси:

\begin{cases}

v_x = v \cos \alpha \\

v_y = v \sin \alpha - g t \\

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + v_0^2 \sin^2 \alpha - 2 v_0 g t \sin \alpha + g^2 t^2} = \sqrt{v_0^2 - 2 v_0 g t \sin \alpha + g^2 t^2}

\end{cases} Подставим эту формулу в стандартное выражение для кинетической энергии:

K = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2} (v_0^2 - 2 v_0 g t \sin \alpha + g^2 t^2). Для потенциальной энергии привяжем 0 к 0 по оси Y:

\Pi = mgy = mg(v_{0} t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}). Начальная энергия сугубо кинетическая, откуда

K + \Pi = \frac{mv_0^2}{2}.