Равноускоренное движение: Часть 1

Задача 1

Условие

Автобус тормозит с постоянным ускорением 1 м/с^2 до полной остановки. Определите тормозной путь, если его вторая половина была пройдена за 5 с.

Решение

Запишем формулу без начальной скорости, учитывая, что направление перемещения и направление ускорения противоположны:

S = v_к t - \frac{-at^2}{2} = \frac{at^2}{2} = 72 \ м. Ответ 72 м.

Задача 2

Условие

Товарный поезд, двигаясь с постоянным ускорением, въезжает в туннель со скоростью v_0 . Известно, что первый вагон пробыл в туннеле в два раза дольше, чем последний. Какую скорость имел поезд в тот момент, когда целиком выехал из туннеля, если известно, что его длина равна длине туннеля? Длиной вагона по сравнению с длиной всего поезда пренебречь.

Решение

При равноускоренном движении средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скорости. Тогда путь первого вагона равен S_1=\left(V_0+V_1\right) t_1 / 2,

где V_1=V_0+a t_1 - скорость электрички в момент, когда первый вагон покинул туннель, а последний вагон въехал в туннель, t_1 - время, в течение которого первый вагон был в туннеле.

Путь второго вагона

S_2=\left(V_2+V_1\right) \cdot t_2 / 2, где V_2=V_1+a t_2 - скорость электрички в момент, когда второй вагон покинул туннель, а t_2 - время, в течение которого последний вагон был в туннеле. Поскольку оба пути одинаковы и равны длине туннеля, выполняется равенство S_1=S_2 .

Вспомним, что t_1=2 t_2 , выразим t_1 через t_2 , подставим в V_1 и V_2 и получим:

V_1=V_0+2 a t_2, V_2=V_0+3 a t_2. Затем подставим все в S_1=S_2 и получим:

\left(2 V_0+2 a t_2\right) \cdot 2 t_2=\left(2 V_0+5 a t_2\right) t_2, откуда a t_2=2 V_0 , а это уже подставим в выражение для V_2 и получим ответ. Скорость электрички, когда она покинула туннель, была равна V_2=7 V_0 .

Ответ V_2=7 V_0 .

Задача 3

Условие

У вертикально стартующей ракеты есть два двигателя. Двигатели могут включаться по очереди, но на одинаковое время. Один может сообщить ей ускорение \vec{a} относительно земли, а второй - ускорение 2 \vec{a} относительно земли. В какой последовательности следует включать двигатели (сначала мощный, а затем сразу же слабый, или наоборот), чтобы к моменту прекращения их работы ракета переместилась на наибольшее расстояние?

Решение

Поделим весь участок разгона на временные промежутки длиной \tau . Рассмотрим два случая:

Первый случай.

Сначала у ракеты ускорение a на время \tau , а затем 2 a . Тогда размер первого участка равен

L_1=\frac{a \tau^2}{2}, а скорость на конце участка

v_1=a \tau. Размер второго участка

L_2=v_1 \tau+\frac{2 a \tau^2}{2}=a \tau^2+a \tau^2=2 a \tau^2. Откуда общее расстояние

S_1=2.5 a \tau^2. Второй случай.

Сначала у ракеты ускорение 2 a на время \tau , а затем a . Тогда размер первого участка равен

L_1=\frac{2 a \tau^2}{2}=a \tau^2, а скорость на конце участка

v_2=2 a \tau. Размер второго участка

L_2=v_2 \tau+\frac{a \tau^2}{2}=2 a \tau^2+0,5 a \tau^2=2,5 a \tau^2. Откуда общее расстояние

S_1=3,5 a \tau^2 Откуда следует, что выгоднее включать сначала мощный двигатель, а затем слабый.

Ответ выгоднее включать сначала мощный двигатель, а затем слабый.