Баллистика: Часть 2

Бросок с высоты

Может случится так, что начальная и конечная точка траектории находятся на разных высотах. Допустим, что начальная точка на H выше, чем конечная. В таком случае симметрия траектории нарушается, начальная скорость не равна конечной, а вершина достигается не за половину полного времени полёта.

л6.2 (1) Определим время и дальность полёта в новых условиях. Для конечной точки (если начало координат располагаем в начальной) верно:

-H = v_0 \tau \sin \alpha - \frac{g \tau^2}{2} \ \Rightarrow \ \frac{g \tau^2}{2} - v_0 \tau \sin \alpha - H = 0. По формуле дискриминанта:

\tau = \frac{v_0 \sin \alpha \pm \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gH}}{g}. Понятно, что

\tau > \frac{v_0 \sin \alpha}{g}, так как, это время достижения верхней точки траектории, значит

\tau = \frac{v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gH}}{g}. Если обозначить время достижения верхней точки за \tau_{в} получим

\tau = \tau_{в} + \sqrt{\tau_{в} + \frac{2H}{g}}. Дальность полёта определяется аналогично случаю с броском без перепада высот:

L = x(\tau) = v_0 \cos \alpha \frac{v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gH}}{g}. Ну и, наконец, разница между начальной и конечной скоростью легко выражается из закона сохранения энергии:

v_0^2 + 2gH = v_{к}^2 \ \Rightarrow \ v_{к} = \sqrt{v_0^2 + 2gH}. Навесная и настильная траектории

Мы уже получили формулу для дальности полёта снаряда:

L = \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}. Кроме того, из тригонометрии мы знаем, что

\sin \beta = \sin (\pi - \beta). То есть, есть два разных угла \alpha_1 \ и \ \alpha_2 дальность броска при которых одинакова:

2 \alpha_1 = \pi - 2 \alpha_2 \ \Rightarrow \ \alpha_1 + \alpha_2 = \pi/2. Единственный случай, в котором они совпадают это

\alpha_1 = \alpha_2 = \pi/4. В остальных случаях один из углов больше, и траектория, которую он задаёт, называется навесной, а второй угол меньше, и траектория, задаваемая им называется настильной.

Переброс препятствия

Разберём также возможность переброса препятствия с помощью свободно летящего камня. В поле стоит столб высотой H. Необходимо его перебросить. Есть две вариации такой задачи:

1) расстояние S от метателя до столба по горизонтали постоянно, а угол \alpha можно выбирать;

2) угол \alpha постоянен, а расстояние S от метателя до столба можно выбирать.

В обеих вариациях необходимо забросить снаряд как можно дальше, чтобы он не врезался в столб. Необходимо считать, что вся траектория и столб находятся в одной вертикальной плоскости.

В первой вариации, если возможно стоит выбрать угол \pi/4 , так как мы уже обсудили, что это обеспечивает максимальную дальность. Запишем систему, выясним, возможно ли отправить снаряд под углом \pi/4 .

\begin{cases}

S = \frac{v_0}{\sqrt{2}} t \\

H = \frac{v_0}{\sqrt{2}} t - \frac{g t^2}{2}

\end{cases} Подставляя время из первого во второе уравнение

H = S - \frac{g S^2}{v_0^2} \ \Rightarrow \ \frac{g S^2}{v_0^2} - S + H = 0 \ \Rightarrow \ S = v_0^2 \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\frac{gH}{v_0^2}}}{2g}. Если знаменатель неотрицателен, можно осуществить бросок по \pi/4 . То есть

если \ H < \frac{v_0^2}{4g}, \ то \ \alpha = \pi/4. Иначе мы должны подобрать угол как можно более близкий к \pi/4 сверху.

S = v_0 t \cos \alpha откуда

t = \frac{S}{v_0 \cos \alpha}. Тогда

H = S \tg \alpha - \frac{g}{2} \frac{S^2}{v_0^2} (1 + \tg^2 \alpha) \ \Rightarrow \ \frac{g}{2} \frac{S^2}{v_0^2} (1 + \tg^2 \alpha) - S \tg \alpha + H = 0. \tg \alpha = \frac{S + \sqrt{S^2 - 2 g \frac{S^2}{v_0^2} (\frac{g}{2} \frac{S^2}{v_0^2} + H)}}{g\frac{S^2}{v_0^2}}. Во второй вариации, необходимо выбрать расстояние так, чтобы коснуться верха столба

\begin{cases}

S = v_0 t \cos \alpha \\

H = v_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2} \ \Rightarrow \ \frac{gt^2}{2} - v_0 t \sin \alpha + H = 0 \ \Rightarrow \ t = \frac{v_0 \sin \alpha - \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g}

\end{cases} откуда

S = v_0 \frac{v_0 \sin \alpha - \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g} \cos \alpha. Векторные треугольники

В случае, если полёт начинается и заканчивается на одной высоте, можно нарисовать треугольник скоростей

л6.3 из геометрии которого можно получать некоторые алгебраические соотношения. Также имеет место быть треугольник перемещений

л6.4 (1) Если же начало и конец траектории находятся на разной высоте, то треугольник перемещений выглядит следующим образом

л6.5 (1)