Движение по окружности: Часть 1

Задача 1

Условие

Небольшое тело движется по окружности радиуса r со скоростью, которая линейно увеличивается во времени по закону v=k t . Найдите зависимость модуля ускорения тела от времени.

Решение

Из условия, по определению тангенциального ускорения, следует

a_\tau = k. Из формулы для нормального ускорения

a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{k^2t^2}{r}. По теореме Пифагора

a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{k^2 + \frac{k^4 t^4}{r^2}} = k \sqrt{1 + \frac{k^2 t^4}{r^2}}. Ответ k \sqrt{1 + \frac{k^2 t^4}{r^2}}.

Задача 2

Условие

Небольшое тело движется по окружности радиуса r таким образом, что a_n = kt . Найдите зависимость тангенциального ускорения тела от времени.

Решение

Из формулы для нормального ускорения

a_n = \frac{v^2}{r} = kt \ \Rightarrow \ v = \sqrt{rkt}. Возьмём производную

a_\tau = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{rk}{t}}. Ответ a_\tau = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{rk}{t}}.

Задача 3

Условие

Два точечных тела начинают одновременно двигаться: первое - по окружности радиуса R с постоянной по модулю скоростью v_1 , второе - из центра той же окружности со скоростью v_2=\frac{4}{5} v_1 , причём вектор \vec{v}_2 направлен всё время на первое тело. На каком расстоянии друг от друга окажутся тела через время t \gg 2 \pi R / v_1 ?

Решение

Через некоторое время тела будут двигаться по концентрическим окружностям с одинаковыми угловыми скоростями. Решение ясно из рисунка.

x=R \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5} R . 2.3 (1) Ответ \frac{3}{5} R .