Кинематические связи. Блоки. Часть 3: Часть 1

Видео

Конспект

Кинематические связи. Блоки

Задача 16

К стене на шарнирном креплении присоединён невесомый стержень, разделённый на три равные части. Найдите ускорение всех грузов.

1 Решение:

Так как стержень является твёрдым телом, все его точки имеют одинаковое угловое ускорение и одинаковую угловую скорость относительно неподвижной точки (крепления шарнира). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения: I\varepsilon = \Sigma M

Так как стержень невесом, левая часть равна 0. Таким образом: 0 = T_1 + 2T_2 - 3T_3, где T_i это сила натяжения i ой нити слева. Отсюда

Направим ось Ox вертикально вверх. Тогда ускорение самого правого груза: a_{3x} = \frac{T_3 - mg}{m}

Из условия нерастяжимости нити, очевидно, что ускорение правого конца рычага a_{пр\,x} = -a_{3x}

При этом, так как нормального ускорения у тел на стержне ещё нет (у них нулевые скорости), всё ускорение объектов на стержне является тангенциальным. А значит, из постоянства углового ускорения: 2a_{пр\,x} = 3a_{2x} = 6a_{1x}.

Запишем второй закон Ньютона для двух левых грузов: 9m a_{1x} = T_1 - 9mg 9m a_{2x} = T_2 - mg

Подставляя данные для T_1 из правила моментов выше: 9m a_{1x} = 3T_3 - 2T_2 - 9mg 9m a_{2x} = T_2 - mg

И также подставляя отношение ускорений: 3m\left(\frac{-T_3 + mg}{m}\right) = 3T_3 - 2T_2 - 9mg 6m\left(\frac{-T_3 + mg}{m}\right) = T_2 - mg

Упрощая 12mg = 6T_3 - 2T_2 7mg = 6T_3 + T_2

Откуда видно, что T_2 < 0 , что невозможно. Можно констатировать, что нить провисла, а T_2 = 0 . Отсюда ясно, что a_{2x} = -g .

Получаем новую систему уравнений: 3T_3 = T_1, 9m a_{1x} = T_1 - 9mg a_{3x} = \frac{T_3 - mg}{m} a_{пр\,x} = -a_{3x} a_{пр\,x} = 3a_{1x}.

Упрощая: -3m a_{3x} = 3T_3 - 9mg m a_{3x} = T_3 - mg -a_{3x} = 3a_{1x}.

То есть a_{2x} = -g a_{3x} = g a_{1x} = -g/3.

Задача 17

На два лёгких катка разного радиуса положили массивную плиту. Она катится по ним, образуя угол \alpha с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет.

32 Решение:

Расставим силы, действующие на систему:

33 Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.

Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ( N_1 - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, F_{тр} - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры R в точке P ).

Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ( N - суммарная сила реакций опор, mg сила тяжести, F_{тр} - сила трения со стороны катков на плиту).

Выберем ось Ox по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка P - мгновенный центр скоростей, причем v перпендикулярна PC (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось Ox уравнение движения плиты ma = mg \sin a/2 + N \sin \alpha/2 - F_{тр} \cos \alpha/2.

В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид I\varepsilon = \Sigma M произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток PC

Плечо силы трения равно 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} а плечо силы N равно 2r \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \alpha/2

Плечо силы R равно нулю.

Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и I = 0 ): 0 = -F_{тр}\, 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + Nr \sin \alpha Откуда F = N \tan \frac{\alpha}{2} подставляя это значение в уравнение движения, получим ma = mg \sin \frac{\alpha}{2} т.е. искомое ускорение равно a = g \sin \frac{\alpha}{2}