Кинематические связи. Блоки. Часть 3: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 18

К свободному концу нити, прикреплённой к стенке и переброшенной через валик, подвешен груз. Ролик закреплён на бруске массы m_0 = M , который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют от вертикали на угол \alpha и затем отпускают. Определите ускорение бруска, если угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза m ?

34 Решение:

Введём горизонтальную ось Ox , направленную влево и вертикальную ось Oy , направленную вверх. Координаты неизвестного груза будут обладать индексом 1, координаты известного будут обладать индексом 0.

Применим второй закон Ньютона: Ox : T - T \sin \alpha = m_0 a_{0x}, T \sin \alpha = m a_{1x}. Oy : N - mg - T \cos \alpha = m_0 a_{0y} = 0, T \cos \alpha - mg = m a_{1y}.

Из геометрических соображений: \tan \alpha = \frac{x_0 - x_1}{y_0 - y_1}.

Учитывая \alpha = const : \frac{d}{dt}(\tan \alpha) = \frac{\left(\frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt}\right)(y_0 - y_1) - \left(\frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt}\right)(x_0 - x_1)}{(y_0 - y_1)^2} = 0 \frac{d}{dt}\left(\left(\frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt}\right)(y_0 - y_1)\right) = \frac{d}{dt}\left(\left(\frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt}\right)(x_0 - x_1)\right) \begin{gathered}

\left(\frac{d^2 x_0}{dt^2} - \frac{d^2 x_1}{dt^2}\right)(y_0 - y_1) + \left(\frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt}\right)\left(\frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt}\right) = \\

= \left(\frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2}\right)(x_0 - x_1) + \left(\frac{dy_0}{dt} - \frac{dy_1}{dt}\right) \cdot \left(\frac{dx_0}{dt} - \frac{dx_1}{dt}\right)

\end{gathered} (a_{0x} - a_{1x})(y_0 - y_1) = (a_{0y} - a_{1y})(x_0 - x_1) \tan \alpha\, (a_{0y} - a_{1y}) = a_{0x} - a_{1x}

Из предыдущих: a_{0y} = 0 -\tan \alpha \cdot a_{1y} = a_{0x} - a_{1x}

Длина веревки: L = 0 - x_0 + \frac{y_0 - y_1}{\cos \alpha}

Т.к. нить нерастяжима \frac{d^2 L}{dt^2} = -\frac{d^2 x_0}{dt^2} + \frac{1}{\cos \alpha}\left(\frac{d^2 y_0}{dt^2} - \frac{d^2 y_1}{dt^2}\right) = 0 \left(\frac{d^2 x_0}{dt^2} = a_{0x}, \quad \frac{d^2 y_0}{dt^2} = a_{0y}, \quad \frac{d^2 y_1}{dt^2} = a_{1y}\right) a_{0x} \cdot \cos \alpha = a_{0y} - a_{1y}

Из того, что a_{0y} = 0 a_{0x} \cos \alpha = -a_{1y}

Решая получившуюся систему, получим m = \frac{M \sin \alpha}{(1 - \sin \alpha)^2}