Гидрокинематика: Часть 1

Видео

Конспект

Основы гидрокинематики

Кинематический анализ движения жидкости основан на следующих понятиях.

Линия тока — кривая, в каждой точке которой вектор мгновенной скорости частиц направлен по касательной. При стационарном режиме совпадает с траекторией материальной точки.

Элементарная струйка (трубка тока) — область, ограниченная поверхностью, образованной линиями тока, проведенными через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Ее свойства: 1) боковая поверхность непроницаема для вещества; 2) в пределах поперечного сечения d\omega локальные параметры (u, p) полагаются константами.

Живое сечение (\omega) — поверхность, нормальная к линиям тока в каждой своей точке. Для течений с параллельными линиями тока является плоской.

Объёмный расход (Q) — количество жидкости, проходящее через живое сечение в единицу времени. Для элементарной струйки dQ = u\,d\omega , для всего потока Q = \int_{\omega} u\,d\omega = V_{ср}\omega , где V_{ср} — средняя по сечению скорость.

Уравнение неразрывности (вывод)

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы применительно к движущейся жидкости. Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости ( \rho = const ), ограниченную двумя живыми сечениями 1–1 (площадью d\omega_1 ) и 2–2 (площадью d\omega_2 ), находящимися на некотором расстоянии друг от друга. Боковая поверхность струйки непроницаема по определению.

За промежуток времени \Delta t через сечение 1–1 в отсек струйки втекает масса \Delta m_1 = \rho u_1 d\omega_1 \Delta t . За то же время через сечение 2–2 вытекает масса \Delta m_2 = \rho u_2 d\omega_2 \Delta t . Поскольку жидкость несжимаема, а боковая поверхность непроницаема, масса внутри отсека измениться не может: \Delta m_1 = \Delta m_2 . Сокращая на \rho и \Delta t , получаем: u_1 d\omega_1 = u_2 d\omega_2 = dQ = const.

Таким образом, объёмный расход элементарной струйки есть величина постоянная. Интегрируя по площади конечного потока и вводя средние скорости V_1, V_2 , получаем уравнение неразрывности для потока: V_1 \omega_1 = V_2 \omega_2 = Q = const.

Данное соотношение устанавливает обратную пропорциональность между средней скоростью и площадью живого сечения.

Геометрические и режимные классификации

Свободная поверхность — граница раздела «жидкость–газ» с постоянным (обычно атмосферным) давлением.

Смоченный периметр (\chi) — протяженность твердых границ в пределах живого сечения.

Гидравлический радиус (R_{г}) — отношение площади живого сечения к смоченному периметру: R_{г} = \omega/\chi . Для круглой трубы полного наполнения R_{г} = d/4 .

Стационарный (установившийся) режим характеризуется условием \partial/\partial t = 0 для всех гидродинамических параметров. Требует постоянства расхода, геометрии и граничных условий.

Равномерное течение — течение с параллельными линиями тока и неизменной вдоль потока эпюрой скоростей ( \partial V/\partial l = 0 ). Неравномерное — всякое течение, где данное условие нарушается.

Напорное течение — движение без свободной поверхности, где давление на границах избыточно. Безнапорное — течение со свободной поверхностью, давление на которой равно атмосферному.

Скоростной профиль — функция распределения местной скорости u по нормали к живому сечению.