Гидрокинематика

Механизмы вязкого трения и силы сопротивления в потоке Для реальной жидкости необходимо учитывать диссипацию механической энергии, обусловленную вязкостью. Полный напор $H$ при этом убывает вдоль потока на величину потерянного напора. Различают: Внешнее трение — сопротивление движению жидкости у твердой границы. По гипотезе прилипания скорость частиц на стенке равна нулю. Внутреннее трение — сопротивление относительному скольжению смежных слоев жидкости. Количественной мерой внутреннего трения служит касательное напряжение $\tau$. В рамках модели ньютоновской жидкости оно линейно связано с поперечным градиентом скорости: $$ \tau = \mu \frac{du}{dy}. $$ Коэффициент пропорциональности $\mu$ (Па$\cdot$с) именуется динамическим коэффициентом вязкого трения. Сила вязкого трения, действующая на площадку $S$ между слоями, движущимися с различными скоростями, в общем виде записывается как: $$ F_{тр} = \tau S = \mu S \frac{du}{dy}. $$ Однако физическая природа этой силы, а следовательно, и ее зависимость от параметров потока, кардинально различаются для ламинарного и турбулентного режимов. Сила вязкого трения в ламинарном потоке При ламинарном режиме перенос импульса между слоями осуществляется исключительно за счет молекулярного механизма (хаотического теплового движения молекул). Касательное напряжение строго следует закону Ньютона $\tau = \mu \dfrac{du}{dy}$, где $\mu$ — физическая константа жидкости, не зависящая от параметров течения. Рассмотрим установившееся ламинарное течение в круглой трубе радиуса $r_0$. Как было показано ранее (см. раздел 5), из условия равновесия сил касательное напряжение распределено по радиусу линейно: $\tau = \dfrac{\Delta p}{2l} r$. Полная сила трения, действующая на боковую поверхность цилиндрического объема жидкости радиуса $r$ и длины $l$, равна: $$ F_{тр}^{лам} = \tau \cdot 2\pi r l = \pi r^2 \Delta p. $$ Из формулы Пуазейля $\Delta p = \dfrac{8\mu l Q}{\pi r_0^4}$. Выражая расход через среднюю скорость $Q = \pi r_0^2 V_{ср}$, для полной силы трения о стенку трубы (при $r = r_0$) получаем: $$ F_{тр}^{лам} = 8\pi \mu l V_{ср}. $$ Сила трения в ламинарном потоке линейно зависит от средней скорости и динамической вязкости. Сила вязкого трения в турбулентном потоке В турбулентном потоке к молекулярному трению добавляется перенос импульса за счёт хаотического перемешивания вихрей. Возникающие при этом турбулентные напряжения значительно превосходят молекулярные, и суммарное касательное напряжение можно записать как $$ \tau = \tau_{мол} + \tau_{турб}, $$ где вклад $\tau_{турб}$ определяется уже не только вязкостью, но и пульсациями скорости. Экспериментально установлено, что гидравлические потери в турбулентном режиме пропорциональны квадрату скорости. Потерю напора по длине записывают по формуле Дарси–Вейсбаха $$ h_l = \lambda \frac{l}{D} \frac{V_{ср}^2}{2g}, $$ где $\lambda$ — коэффициент гидравлического трения. Соответствующий перепад давления $\Delta p_{тр} = \rho g h_l$. Тогда полная сила трения о стенки трубы длиной $l$ и диаметром $D$ равна $$ F_{тр}^{турб} = \Delta p_{тр} \cdot \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi}{8} \lambda\, \rho\, l\, D\, V_{ср}^2. $$ В областях, где коэффициент $\lambda$ примерно постоянен, сила трения в турбулентном потоке растёт пропорционально квадрату средней скорости, в отличие от линейной зависимости, характерной для ламинарного течения. Ламинарный режим и критерий Рейнольдса Упорядоченное слоистое течение, в котором перенос импульса поперек потока осуществляется только молекулярным механизмом, называется ламинарным . Противоположный режим — турбулентный (вихревой) — характеризуется хаотическими пульсациями и интенсивным крупномасштабным перемешиванием. Граница существования режимов определяется безразмерным параметром — числом Рейнольдса: $$ Re = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}. $$ Здесь $\nu = \mu/\rho$ — кинематический коэффициент вязкости, $D$ — характерный линейный размер. Число Рейнольдса отражает соотношение инерционных и вязких сил в потоке. Условие ламинарности течения в круглой трубе: $$ Re При выполнении этого неравенства силы вязкого трения преобладают над инерционными, обеспечивая устойчивость ламинарного режима и демпфирование любых возникающих возмущений.