Гидрокинематика: Часть 4

Видео

Конспект

Ламинарное течение в круглой трубе (Формула Пуазейля)

Рассмотрим установившееся ламинарное течение в прямолинейной горизонтальной трубе радиуса $r_0$. Из условия равновесия сил, действующих на цилиндрический объем жидкости радиуса $r$ и длины $l$, следует: $$

\Delta p \cdot \pi r^2 = \tau \cdot 2\pi r l \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{\Delta p}{2l} r.

$$

Таким образом, касательное напряжение линейно возрастает от нуля на оси трубы до максимального значения на стенке.

Подставляя реологический закон Ньютона $\tau = -\mu \dfrac{du}{dr}$ (знак «минус» отражает убывание скорости от центра к периферии), имеем: $$

-\mu \frac{du}{dr} = \frac{\Delta p}{2l} r.

$$

После разделения переменных и интегрирования с условием прилипания $u(r_0) = 0$ получаем параболический профиль скорости: $$

u(r) = \frac{\Delta p}{4\mu l}(r_0^2 - r^2).

$$

Объёмный расход определяется интегрированием скорости по площади сечения: $$

Q = \int_0^{r_0} u(r) \cdot 2\pi r\, dr = \frac{\pi r_0^4 \Delta p}{8\mu l}.

$$

Данное соотношение представляет собой формулу Пуазейля, выражающую прямую пропорциональность расхода перепаду давления и обратную — вязкости, с сильной (четвертая степень) зависимостью от радиуса трубы: $$

Q = \frac{\pi r_0^4 \Delta p}{8\mu l} = \frac{\pi D^4 \Delta p}{128\mu l}.

$$

Медленное обтекание сферы (Закон Стокса)

Рассматривается задача об установившемся падении твердого шара радиуса $r$ (диаметра $d$) в безграничной вязкой жидкости под действием силы тяжести. При условии $Re \ll 1$ (ползущее течение) сила гидродинамического сопротивления, полученная Стоксом аналитически из линеаризованных уравнений Навье–Стокса, равна: $$

F_{сопр} = 6\pi \mu r V.

$$

Сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, вязкости и радиусу шара.

Установившаяся скорость $V_{уст}$ достигается при балансе движущих сил и сопротивления. Уравнение равновесия: $$

(\rho_{ш} - \rho_{ж}) g \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 6\pi \mu r V.

$$

Решение относительно $V$ дает формулу для установившейся скорости осаждения (Стокса): $$

V_{уст} = \frac{2}{9}\frac{(\rho_{ш} - \rho_{ж}) g r^2}{\mu} = \frac{1}{18}\frac{(\rho_{ш} - \rho_{ж}) g d^2}{\mu}.

$$

Данное выражение применимо для расчета скорости седиментации мелкодисперсных частиц и лежит в основе экспериментальных методов определения динамической вязкости жидкости.