Гидрокинематика

Сфероид Маклорена Постановка задачи о фигурах равновесия Рассматривается задача о форме равновесия однородной несжимаемой жидкости, находящейся под действием сил собственного гравитационного притяжения и равномерного вращения с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной оси. В состоянии равновесия поверхность жидкости должна быть эквипотенциальной поверхностью суммарного потенциала, включающего гравитационный и центробежный вклады. Задача о фигурах равновесия имеет фундаментальное значение в небесной механике и астрофизике, поскольку позволяет объяснить сплюснутую форму вращающихся звёзд и планет. Решение Маклорена Колин Маклорен в 1742 году показал, что точным решением поставленной задачи является эллипсоид вращения, сжатый в направлении оси вращения и симметричный относительно экваториальной плоскости. Такая фигура получила название сфероида Маклорена. Геометрия сфероида характеризуется двумя полуосями: экваториальной полуосью $a$; полярной полуосью $c$, причём $a \geq c$. Мера сплюснутости фигуры — эксцентриситет $e$: $$ e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}. $$ При $e = 0$ фигура переходит в сферу, при $e > 0$ получаем сплюснутый сфероид. Условие равновесия и связь параметров Для существования фигуры заданной формы необходимо, чтобы угловая скорость вращения $\omega$, плотность жидкости $\rho$ и эксцентриситет $e$ удовлетворяли определённому соотношению. Приравнивая эффективный потенциал на поверхности к постоянной величине, получают соотношение Маклорена: $$ \frac{\omega^2}{2\pi G \rho} = \frac{2\sqrt{1 - e^2}}{e^3}(3 - 2e^2)\arcsin e - \frac{6(1 - e^2)}{e^2}. $$ Здесь $G$ — гравитационная постоянная, а левая часть представляет собой безразмерный параметр, характеризующий отношение центробежной силы к силе гравитации. Анализ этого соотношения показывает, что: Для заданной угловой скорости $\omega$ и плотности $\rho$ форма сфероида однозначно определена. При малых $\omega$ эксцентриситет пропорционален $\omega^2$, и фигура близка к сфере. С ростом $\omega$ эксцентриситет монотонно увеличивается, достигая максимального значения при некоторой критической угловой скорости. Предел устойчивости Последовательность сфероидов Маклорена существует не для всех значений сплюснутости. Условие равновесия допускает решения лишь до некоторого максимального эксцентриситета $e_{\max}$, которому соответствует максимально возможная угловая скорость $\omega_{\max}$. Кроме того, при определённой степени сжатия последовательность Маклорена теряет динамическую устойчивость. Этот предел достигается при эксцентриситете $e \approx 0.9529$, что соответствует отношению полуосей $c/a \approx 0.303$. При дальнейшем увеличении момента вращения жидкая масса перестраивается в трёхосный эллипсоид — фигуру Якоби, утрачивая осевую симметрию. При ещё больших значениях углового момента устойчивые фигуры равновесия перестают существовать, и тело разрушается. Вырождение в диск Особый интерес представляет предельный случай $c \to 0$ (или, что эквивалентно, $e \to 1$), при котором сфероид Маклорена вырождается в бесконечно тонкий гравитирующий диск. Формально это решение получается из общего соотношения Маклорена предельным переходом. Подстановка $e = 1$ в условие равновесия приводит к конечному значению безразмерной угловой скорости: $$ \left.\frac{\omega^2}{2\pi G \rho}\right|_{e \to 1} = \pi - \frac{6}{\pi} \approx 0.449. $$ Таким образом, существует выделенная угловая скорость, при которой равновесная фигура принимает форму бесконечно тонкого диска. Эта конфигурация, называемая диском Маклорена, представляет интерес как простейшая модель аккреционных дисков и галактических структур. Следует, однако, отметить, что диск Маклорена лежит далеко за порогом динамической устойчивости: для эксцентриситетов $e > 0.9529$ сфероиды Маклорена неустойчивы. Поэтому дисковая конфигурация является хотя и формальным равновесным решением, но физически нереализуемой без дополнительных стабилизирующих механизмов. Фигура Пуанкаре и гантелевидное равновесие Дальнейшее развитие теории фигур равновесия связано с работами Анри Пуанкаре. Он обнаружил, что последовательность сфероидов Маклорена и последовательность трёхосных эллипсоидов Якоби являются частными случаями более широкого класса фигур. Пуанкаре показал, что с увеличением угловой скорости последовательность эллипсоидов Якоби, в свою очередь, теряет устойчивость и ответвляется в новую ветвь равновесных конфигураций. Точка бифуркации, в которой это происходит, получила название точки Пуанкаре. Наиболее примечательный результат этого анализа состоит в том, что новая ветвь описывает фигуры, эволюционирующие в сторону гантелевидных форм. Гантель Пуанкаре представляет собой два гравитационно связанных жидких сгущения, соединённых тонкой перемычкой. При дальнейшем росте углового момента перемычка истончается, и в пределе фигура стремится к разрыву на два отдельных тела, обращающихся вокруг общего центра масс. Таким образом, гантель Пуанкаре является переходной структурой между односвязной вращающейся каплей...