Относительность одномерного движения: Часть 1

Видео

Конспект

Относительность одномерного движения

Задача 1

Условие

Мальчик стоит на эскалаторе, поднимающемся вверх со скоростью v . Ровно на половине пути он поравнялся со своей учительницей, стоящей на соседнем эскалаторе, движущемся вниз с той же скоростью. Как мальчику быстрее добраться до учительницы, если он может двигаться относительно эскалатора с постоянной скоростью u > v : побежать сперва вверх, сменить эскалатор и побежать вниз, или побежать сперва вниз, сменить эскалатор и побежать навстречу вверх? Считайте, что в обоих случаях учительница не достигает конца эскалатора к моменту встречи.

Решение

Пусть длина эскалатора равна L . Перейдём в СО связанную с учительницей. Разберём оба варианта:

Сначала мальчик движется вверх. Его скорость равна 2v + u при подъёме и u при спуске. Мальчик будет осуществлять подъём в течение времени \tau_1 = \frac{L}{2(2v + u)}, а спуск в течение времени \tau_2 = \frac{L}{2u}. Общее время в этом варианте: \tau = \tau_1 + \tau_2 = \frac{L}{u}.

Сначала мальчик движется вниз. Его скорость равна 2v + u при подъёме и u при спуске. Далее аналогично.

Время одинаково.

Задача 2

Условие

Школьник Петя стоит около задней стены последнего вагона поезда, движущегося с постоянной скоростью, и видит через окна поезда столбы линии электропередач, расположенные вдоль железной дороги на равных расстояниях друг от друга. Когда Петя поравнялся с одним из столбов, он начал считать столбы (приняв этот столб за первый) и одновременно идти со скоростью v = 1.5 м/с относительно поезда от хвоста к голове поезда. В момент, когда Петя поравнялся со столбом номер 17, пройденный им путь (относительно поезда) был равен 150 м. Петя тотчас развернулся и пошёл обратно с той же скоростью, и в момент возвращения в начало своего пути поравнялся с очередным столбом, номер которого по счёту Пети был равен 30. С какой скоростью едет поезд, и чему равно расстояние между соседними столбами? Известно, что скорость поезда относительно земли больше скорости Пети относительно поезда.

Решение

Между первым и семнадцатым столбом прошло время

\tau = \frac{150м}{1.5м/с} = 100c. За это время Петя (в тандеме с поездом) прошёл 16 дистанций между столбами, то есть

16L = \tau(u + v), где L – дистанция между соседними столбами, u – скорость поезда. Аналогично

13L = \tau (u - v). Решая систему получаем ответы:

L = 100м, \ u = 52.2км/ч. Задача 3

Условие

В аэропорту Шереметьево в длинном переходе между двумя терминалами есть два параллельных друг другу траволатора – горизонтально расположенных эскалатора, имеющих одинаковые длины. Школьник Вася, отправляющийся на Международную физическую олимпиаду, заметил, что первый траволатор движется, а второй – выключен, и, ожидая свой рейс, решил немного развлечься. Он начал бегать по траволаторам туда-сюда, каждый раз возвращаясь в исходную точку. В первый раз Вася пробежал туда по движущемуся траволатору, а назад – по неподвижному. Во второй раз он пробежал туда по неподвижному траволатору, а назад – по движущемуся. Разность времен движения Васи в этих первом и втором забегах составила \Delta t_1 = 25 с. В третий раз Вася пробежал в обе стороны по движущемуся траволатору, а в четвертый раз – в обе стороны по неподвижному. Разность времен движения Васи в третьем и в четвертом забегах оказалась равной \Delta t_2 = 5 с. Вася развивает постоянную скорость относительно траволатора, скорость движения которого также постоянна и равна u = 1 м/с. Найдите скорость V Васи относительно траволатора и определите длину траволатора. Считайте, что на ускорение, торможение и на разворот Вася тратит пренебрежимо мало времени.

Решение

Не имеет значения, в каком направлении движется траволатор. Пусть время движения Васи в один из двух первых забегов, когда Вася бежит по едущему траволатору в направлении его движения, равно t_1 = \frac{l}{V + u} + \frac{l}{V} ( l – длина траволатора). Тогда во втором забеге время движения Васи составит t_2 = \frac{l}{V} + \frac{l}{V - u}. Разность этих времен \Delta t_1 = t_2 - t_1 = \frac{2ul}{V^2 - u^2}. Разность времен движения в третьем и четвертом забегах можно найти из выражения: \Delta t_2 = \frac{l}{V + u} + \frac{l}{V - u} - \frac{2l}{V} = \frac{2lu^2}{V(V^2 - u^2)}. Разделив одно уравнение на другое, получим: \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} = \frac{u}{V} , откуда V = u\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = 0,2 \ м/с. Теперь длину l можно выразить, например, из уравнения для \Delta t_1 : получим l = \frac{V^2 - u^2}{2u}\Delta t_1 = \frac{u\Delta t_1\left[(\Delta t_1)^2 - (\Delta t_2)^2\right]}{2(\Delta t_2)^2} = 12 \ м.