Кинематические связи с трением (Часть 2): Часть 1

Задача 9

Условие

На наклонной плоскости, образующей угол \alpha с горизонтом, лежит ящик. Коэффициент трения ящика о плоскость \mu . Под каким углом к плоскости следует тянуть ящик, чтобы с наименьшим усилием сдвинуть его с места?

Решение

Если требуется только сдвинуть с места, то мы можем считать параллельную плоскости составляющую движущей силы равной разности силы трения скольжения и сдвигающей компоненты силы тяжести.

Пусть искомый угол \beta. Тогда \begin{cases}

F \cos \beta + mg \sin \alpha = \mu N, \\

F \sin \beta + N = mg \cos \alpha,

\end{cases} \quad \Rightarrow \Rightarrow \quad F \cos \beta + mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha - F \sin \beta). Выражаем величину силы F и получаем F = mg \frac{\mu \cos \alpha - \sin \alpha}{\mu \sin \beta + \cos \beta}. Значит, чтобы F было наименьшим, выражение ( \mu \sin \beta + \cos \beta ) должно быть как можно больше. Иначе говоря \mu \cos \beta - \sin \beta = 0, то есть tg \beta = \mu.

Ответ tg \beta = \mu.

Задача 10

Условие

С наклонной плоскости, угол наклона которой равен \alpha , соскальзывают два груза массы m_1 и m_2 , связанные натянутой нитью. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно \mu_1 и \mu_2 , причём \mu_2>\mu_1 . Найти силу натяжения нити.

Решение

Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел на ось, перпендикулярную плоскости: \begin{cases}

N_1 = m_1 g \cos \alpha \\

N_2 = m_2 g \cos \alpha

\end{cases} Если снизу соскальзывает груз номер 2, нить не будет натянута, так как его ускорение меньше, чем ускорение второго груза, если они движутся сами по себе. Значит снизу движется груз номер 1.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел на ось параллельную плоскости: \begin{cases}

m_1 a_1 = m_1 g \sin \alpha - T - \mu_1 m_1 g \cos \alpha \\

m_2 a_1 = m_2 g \sin \alpha + T - \mu_2 m_2 g \cos \alpha

\end{cases} Приравнивая ускорения, получаем g \sin \alpha - T/m_1 - \mu_1 g \cos \alpha = g \sin \alpha + T/m_2 - \mu_2 g \cos \alpha. Упрощая T (\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}) = (\mu_2 - \mu_1) g \cos \alpha. Выражая T T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (\mu_2 - \mu_1) g \cos \alpha.

Ответ T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (\mu_2 - \mu_1) g \cos \alpha.

Задача 11

Условие

Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на наклонной плоскости с углом наклона \alpha=30^{\circ} . Ящик отпускают, и он начинает скользить. Во сколько раз уменьшится сила давления шара на переднюю стенку ящика? Внутренние поверхности ящика гладкие. Коэффициент трения скольжения ящика о наклонную плоскость \mu=0.25 .

13.5 Решение

На шар действуют три силы: сила тяжести, сила реакции опоры со стороны передней стенки ящика N_1 и сила реакции опоры со стороны дна ящика N_2 . Пока ящик не движется, второй закон Ньютона на ось, параллельную плоскости, запишется таким образом: N_1 = mg \sin \alpha, где m это масса шара. После того как ящик начинает двигаться, второй закон Ньютона на ту же ось уже для ящика запишется как MA = Mg \sin \alpha - \mu N_{я} + N_1', где N_{я} это сила нормальной реакции опоры со стороны наклонной плоскости на сам ящик, а новая сила реакции опоры со стороны передней стенки ящика на шар N_1' . Для шара на ту же ось mA = mg \sin \alpha - N_1'. Если записать второй закон Ньютона на ось, перпендикулярную плоскости, для обеих тел mg \cos \alpha = N_2', \quad Mg \cos \alpha = N_{я} - N_2', подставляя N_{я} = (M+m)g \cos \alpha. Собирая всё вместе M (g \sin \alpha - N_1'/m) = Mg \sin \alpha - \mu (M+m)g \cos \alpha + N_1'. Упрощая N_1' (1 + \frac{M}{m}) = \mu (M+m)g \cos \alpha \ \Rightarrow \ N_1' = \mu mg \cos \alpha. Окончательно \frac{N_1'}{N_1} = \mu ctg \alpha = 0.25 \cdot \sqrt{3} \approx 0.433.

Ответ \frac{N_1'}{N_1} \approx 0.433.