Системы отсчета: Часть 1

Видео

Конспект

Системы отсчёта

Система отсчёта (СО) — это тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Среди всего многообразия СО особо выделяются инерциальные системы отсчёта (ИСО) — это системы, в которых выполняется Первый закон Ньютона: тело, свободное от внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Любая система, движущаяся относительно данной ИСО равномерно и прямолинейно, также является инерциальной. Система, которая движется с ускорением (тормозит, разгоняется, поворачивает), будет неинерциальной.

Принцип относительности Галилея

Этот принцип Галилео Галилей сформулировал в XVII веке, наблюдая за полётом мух и падением капель в каюте плавно плывущего корабля. Его суть:

Все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Никаким механическим опытом, проведённым внутри замкнутой лаборатории, невозможно определить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно.

Из этого принципа следует важный вывод: законы механики (в частности, три закона Ньютона) инвариантны, то есть имеют одинаковую математическую форму во всех ИСО. Уравнение \vec{F} = m\vec{a} не меняется при переходе от одной инерциальной системы к другой.

Преобразования Галилея

Пусть у нас есть две инерциальные системы отсчёта:

K — условно неподвижная система (связана с Землёй, перроном и т.п.).

K' — подвижная система, которая движется относительно K с постоянной скоростью \vec{u} (например, вагон поезда).

Для простоты направим оси x и x' вдоль направления движения \vec{u} . Пусть в начальный момент t = 0 начала координат обеих систем совпадают.

Координаты некоторой точки M в этих системах будут связаны соотношениями, называемыми преобразованиями Галилея: \begin{cases}

x' = x - ut, \\

y' = y, \\

z' = z, \\

t' = t.

\end{cases}

Самое важное здесь — последняя строчка: t' = t . В классической механике время течёт абсолютно и одинаково во всех системах отсчёта (в отличие от релятивистской механики Эйнштейна, где одновременность относительна).

Закон сложения скоростей Галилея

Пусть тело движется относительно подвижной системы K' с некоторой скоростью \vec{v}' (относительная скорость). Сама система K' при этом движется относительно неподвижной системы K со скоростью \vec{u} (переносная скорость). Спрашивается: какова скорость этого же тела \vec{v} относительно неподвижной системы?

Рассмотрим движение тела вдоль оси x за малый промежуток времени \Delta t . За это время:

В неподвижной системе K координата тела изменилась на величину \Delta x . Тогда проекция абсолютной скорости тела равна: v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t}.

Сама подвижная система K' за это же время сместилась как целое на расстояние u \Delta t (поскольку она движется равномерно со скоростью u ).

Координата тела в подвижной системе x' изменилась на величину \Delta x' . Проекция относительной скорости тела равна: v'_x = \frac{\Delta x'}{\Delta t}.

Из преобразования Галилея для координат x' = x - ut следует, что за время \Delta t изменение координат в двух системах связано следующим образом: \Delta x' = \Delta x - u\Delta t.

Разделим это равенство почленно на промежуток времени \Delta t : \frac{\Delta x'}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t} - u.

Узнаём в этих дробях определения скоростей: v'_x = v_x - u.

Перенося u в левую часть, получаем классическую формулу: v_x = v'_x + u.

Аналогичные рассуждения для осей y и z дают v_y = v'_y , v_z = v'_z . Объединяя все три проекции, приходим к классическому закону сложения скоростей: \vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}, где:

\vec{v}_{абс} — скорость тела относительно неподвижной системы K ;

\vec{v}_{отн} = \vec{v}' — скорость тела относительно подвижной системы K' ;

\vec{v}_{пер} = \vec{u} — переносная скорость (скорость подвижной системы K' относительно K ).

Мы рассмотрели преобразования Галилея для систем, движущихся равномерно и прямолинейно. Однако в природе и технике часто встречается вращение: карусели, поворотные платформы, вращающиеся космические станции.

В отличие от равномерного прямолинейного движения, вращающаяся система отсчёта является неинерциальной. Это значит, что Второй закон Ньютона в ней не выполняется в чистом виде: появляются дополнительные <<фиктивные>> силы инерции. Но закон сложения скоростей и здесь имеет свою элегантную формулировку.

Угловая скорость как вектор

При описании вращения удобно ввести угловую скорость \vec{\omega} . Это вектор, направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта (буравчика): если вращение происходит против часовой стрелки, вектор \vec{\omega} направлен вверх (на наблюдателя).

Модуль угловой скорости связан с периодом T и частотой \nu : \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \nu.

Связь линейной и угловой скорости

Для материальной точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения (радиус-вектор \vec{r} ), её линейная скорость в неподвижной системе отсчёта определяется векторным произведением: \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}.

Модуль этой скорости равен v = \omega R , а направлен вектор \vec{v} по касательной к окружности вращения.

Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов \vec{a} и \vec{b} обозначается \vec{a} \times \vec{b} . Его результатом является третий вектор \vec{c} , обладающий особыми свойствами.

Модуль векторного произведения равен произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними: |\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = ab \sin \alpha, где a = |\vec{a}| , b = |\vec{b}| , а \alpha — угол между направлениями векторов \vec{a} и \vec{b} .

Из этой формулы следуют важные частные случаи:

Если векторы параллельны ( \alpha = 0^\circ или 180^\circ ), то \sin \alpha = 0 , и |\vec{c}| = 0 . Векторное произведение параллельных векторов равно нулю.

Если векторы перпендикулярны ( \alpha = 90^\circ ), то \sin \alpha = 1 , и модуль максимален: |\vec{c}| = ab .

Направление (правило правой руки)

Вектор \vec{c} всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат исходные векторы \vec{a} и \vec{b} . Но таких направлений два (вверх и вниз от плоскости). Выбор определяется по правилу правого винта (буравчика) или правилу правой руки:

Расположите четыре пальца правой руки вдоль направления первого вектора \vec{a} .

Согните пальцы в сторону второго вектора \vec{b} — так, чтобы они шли по кратчайшему углу.

Отставленный большой палец укажет направление вектора \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} .

Важно: Порядок векторов имеет значение! Если поменять \vec{a} и \vec{b} местами, направление изменится на противоположное: \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}).

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения |\vec{a} \times \vec{b}| = ab \sin \alpha численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b} , отложенных от одной точки.

Сложение скоростей при вращении подвижной системы

Пусть у нас есть:

Неподвижная (лабораторная) система отсчёта K .

Подвижная система K' , которая вращается относительно K с постоянной угловой скоростью \vec{\Omega} .

Тело движется относительно вращающейся платформы K' со скоростью \vec{v}' (относительная скорость). Какова его абсолютная скорость \vec{v} относительно лаборатории?

Для вращательного движения аналогом галилеевского сложения \vec{v} = \vec{v}' + \vec{u} выступает формула: \vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{\Omega} \times \vec{r}.

Здесь:

\vec{v}_{абс} — скорость тела в неподвижной системе K ;

\vec{v}_{отн} = \vec{v}' — скорость тела, измеренная во вращающейся системе K' ;

\vec{\Omega} \times \vec{r} — переносная скорость: с такой скоростью точка пространства, где сейчас находится тело, движется вместе с вращением системы K' .

Это прямой аналог правила Галилея, только <<поступательная>> переносная скорость \vec{u} заменена на <<вращательную>> \vec{\Omega} \times \vec{r} .