Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. Твердое тело(Часть 3): Часть 1

Кинематические связи. Твёрдое тело. МЦВ

Задача 1

Условие

Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно прикреплён к стене, а свободный конец другого стержня двигают перпендикулярно стене с постоянной по величине скоростью v_0 . Найти величину вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда угол между стержнями равен 2 \alpha .

8.19 Решение

Рассмотрим общий случай такого движения. Пусть угол между стержнями равен \beta , скорость свободного конца стержня v.

8.26 Так как скорость точки A равна 0, скорость точки B v_B направлена перпендикулярно стержню. Из кинематической связи для твёрдого тела

v_B \cos (\pi/2 - \beta) = v \cos (\pi/2 - \beta/2), откуда

v_B \sin \beta = v \sin \beta/2 \ \Rightarrow \ 2 v_B \sin \beta/2 \cos \beta/2 = v \sin \beta/2 \ \Rightarrow \ v_B = \frac{v}{2 \cos \beta/2}. Пусть прошло малое время \Delta t . Отрезок AC увеличился на v \Delta t. Изменение скорости точки B:

\Delta v_B = \frac{v}{2 \cos (\beta + \Delta \beta)/2} - \frac{v}{2 \cos \beta/2} = \frac{v \cos \beta/2 - v \cos (\beta + \Delta \beta)/2}{2 \cos (\beta + \Delta \beta)/2 \cos \beta/2}, упрощая

\Delta v_B = v \frac{\cos \beta/2 - \cos \beta/2 \cos \Delta \beta/2 + \sin \beta/2 \sin \Delta \beta/2}{2 \cos^2 \beta/2} = \frac{1}{2} v \Delta \beta \frac{\sin \beta/2}{2 \cos^2 \beta/2}. Из геометрических соображений

\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{L}{\cos \beta/2} \ \Rightarrow \ AC = 2 L \sin \beta/2, а после изменения

\frac{AC + v \Delta t}{\sin (\beta + \Delta \beta)} = \frac{L}{\cos (\beta + \Delta \beta)/2}, упрощая

AC + v \Delta t = 2 L \sin (\beta + \Delta \beta)/2. Вычитая из этого уравнения выражение для AC , получаем

v \Delta t = 2 L (\sin \beta/2 \cos \Delta \beta/2 + \cos \beta/2 \sin \Delta \beta/2 - \sin \beta/2) = L \Delta \beta \cos \beta/2. Выражая

\Delta \beta = \frac{v \Delta t}{L \cos \beta/2}. Подставляя

a_B = \frac{\Delta v_B}{\Delta t} = \frac{v^2}{2L} \frac{\sin \beta/2}{2 \cos^3 \beta/2}. Подставляя \beta = 2 \alpha, \ v = v_0 получаем

a_B = \frac{v_0^2}{4L} \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}. Ответ a_B = \frac{v_0^2}{4L} \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}.