Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. Твердое тело(Часть 3): Часть 2

Задача 2

Условие

Два стержня длины L соединены шарнирно. Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплён на вертикальной стене, а свободный конец другого стержня двигают с постоянной по величине вертикальной скоростью V_0 . Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, в момент, когда их концы окажутся на одной горизонтали, если угол между стержнями в этом момент равен 2 \alpha .

8.20 Решение

Шарнир, находящийся в вершине угла, движется по окружности с центром в точке закрепления системы. Обозначим его скорость u . Проекции скоростей на направление правого стержня должны быть равны между собой (нерастяжимость стержня):

u \sin 2 \alpha=v_0 \cos \alpha. Теперь мы можем записать выражение для центростремительного ускорения интересующего нас шарнира:

a_{\text {ц }}=\frac{u^2}{L}=\frac{v_0^2}{4 L \sin ^2 \alpha}. Полное ускорение шарнира представим в виде суммы двух векторов - один из них \vec{a}_1 , направим против вектора \vec{v}_0 , а другой \vec{a}_2 направим перпендикулярно ему влево. Тогда можно записать

a_1 \cos \alpha+a_2 \sin \alpha=a_{\text {ц }}=\frac{v_0^2}{4 L \sin ^2 \alpha}. Перейдем в систему отсчета, связанную с концом правого стержня, который движется с постоянной скоростью \vec{v}_0 . В этой системе верхний шарнир снова движется по окружности, только ее центр находится в упомянутой точке. После несложных тригонометрических преобразований можно убедиться, что скорость шарнира и в этом случае равна \frac{v_0 \cos \alpha}{\sin 2 \alpha}=\frac{v_0}{2 \sin \alpha} , а центростремительное ускорение по величине осталось прежним, но изменилось по направлению. Теперь его можно выразить через введенные выше ускорения так:

a_1 \cos \alpha-a_2 \sin \alpha=a_{ц}=\frac{v_0^2}{4 L \sin ^2 \alpha}. Отсюда сразу следует, что a_2=0 , а полный вектор ускорения верхнего шарнира в интересующий нас момент направлен против вектора \vec{v}_0 (по биссектрисе) и равен

a=a_1=\frac{v_0^2}{4 L \sin ^2 \alpha \cos \alpha}. Ответ a=\frac{v_0^2}{4 L \sin ^2 \alpha \cos \alpha}.

Задача 3

Условие

Два жёстких стержня длины l каждый шарнирно скреплены в точке A . Стержень B A жёстко закреплён в точке B , а точка C стержня A C может скользить по направляющей B C . Стержень B A начинают вращать в плоскости рисунка вокруг точки B с постоянной угловой скоростью \omega . Чему будут равны максимальная скорость и ускорение точки C , если в начальный момент стержни вытянуты вдоль направляющей B C(\angle B A C=\pi) ?

8.21 Решение

Поскольку стержни жесткие, в любой момент времени проекции скоростей точек А и C на направление АС должны быть равны, то есть (см. рисунок)

v_A \cos \beta=v_C \cos \alpha. Здесь v_A=\omega l - скорость точки a, v_C - скорость точки С в данный момент времени, \alpha=\omega t- угол, который составляет стержень BA(AC) с направляющей BC в данный момент времени ( \alpha \leq \frac{\pi}{4}, \beta=\frac{\pi}{2}-2 \alpha ; при \alpha \geq \frac{\pi}{4}, \ \beta=2 \alpha-\frac{\pi}{2} ). Итак,

v_A \sin 2 \alpha=v_C \cos \alpha \Rightarrow v_C=2 v_A \sin \alpha=2 v_A \sin \omega t. то есть скорость точки C меняется со временем по гармоническому закону. Значение v_C максимально при \alpha=\frac{\pi}{2} , то есть когда точка С совпадает с точкой B:

v_{C m a x}=2 v_A=2 \omega l. Ускорение точки С в любой момент времени равно

a_C=\left(v_C\right)^{\prime}=2 v_A \omega \cos \omega t. Значение a_C максимально при t=0 , то есть в начальный момент времени:

a_{C m a x}=2 v_A \omega=2 \omega^2 l. Ответ v_{C m a x}=2 \omega l , a_{C m a x}=2 \omega^2 l.

Задача 4

Условие

Нерастяжимая нить длины L соединяет две бусинки A и B . Бусинку B передвигают с постоянной скоростью v_0 по прямой спице M O . В результате этого бусинка A движется по спице C D , изогнутой в виде дуги окружности радиуса R=L \sqrt{3} . Найти модуль ускорения бусинки A в тот момент, когда бусинка B будет на расстоянии L от точки O .

8.22 Решение

Точка A движется по окружности, значит её скорость направлена по касательной к окружности.

8.28 Треугольник ABO равнобедренный. Пусть угол AOB равен \alpha. Тогда

\frac{R}{\sin 2 \alpha} = \frac{R}{\sqrt{3} \sin \alpha} \ \Rightarrow \ \frac{2 \cos \alpha}{\sqrt{3}} = 1 \ \Rightarrow \ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \Rightarrow \ \alpha = 30^{\circ}. Тогда из нерастяжимости нити

v \cos (\pi/2 - \alpha) = v_0 \cos (2 \alpha) \ \Rightarrow \ v = v_0 \frac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha} = v_0 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - v_0 \sin \alpha. Переходя к изменениям, произошедшим за малое время:

\frac{\Delta v}{\Delta t} = v_0 (- \frac{\cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha} \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} - 3 \cos \alpha \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}). Из того, что движение происходит по окружности

v = R \frac{\Delta \alpha}{\Delta t}. Подставляя

a_\tau = -\frac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha} \frac{v_0^2}{R} (\frac{\cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 3 \cos \alpha). Для нормального ускорения

a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{v_0^2}{R} \frac{\cos^2 2 \alpha}{\sin^2 \alpha}. По теореме Пифагора

a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \frac{v_0^2}{R} \frac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{\cos^2 2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \cos^2 \alpha (ctg ^2 \alpha + 3)^2}. Ответ a = \frac{v_0^2}{R} \frac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{\cos^2 2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \cos^2 \alpha (ctg ^2 \alpha + 3)^2} .