Кинематические связи. МЦВ. Качение без проскальзывания. Твердое тело(Часть 3): Часть 3

Задача 5

Условие

Один конец шарнирной конструкции из двух одинаковых звеньев длины 2 l закреплён, а другой движется с постоянной скоростью V по прямой, расстояние до которой от неподвижного конца конструкции равно 3 l . Найдите ускорение шарнира в тот момент, когда:

а) левое звено горизонтально;

б) скорость шарнира равна нулю.

8.23 Решение

Поскольку левый конец звена конструкции закреплен, то шарнир будет двигаться по окружности радиуса R=2 a и в любой момент времени вектор его скорости будет перпендикулярен левому звену. В тот момент времени, когда левое звено горизонтально, скорость шарнира направлена вверх. А так как конец правого звена также имеет вертикально направленную скорость, то из-за нерастяжимости правого звена в этот момент времени скорости его концов будут равны v . В системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью v вместе с правым концом правого звена шарнир в тот момент времени, когда левое звено горизонтально, будет неподвижен, поэтому вектор его ускорения может быть лишь перпендикулярен правому звену. Вектор полного ускорения шарнира будет точно таким же и в неподвижной системе отсчета. Проекция вектора полного ускорения шарнира a_{n 1} на направление левого звена представляет собой центростремительное ускорение, и поэтому (рис. а) a_{n 1} \cos \alpha=a_n=v^2 / 2 a . Значит, вектор полного ускорения шарнира в момент времени, когда левое звено горизонтально, будет

a_{n 1}=\frac{v^2}{2 a \cos \alpha}. Легко видеть, что \alpha=\pi / 6 , откуда a_{n 1}=v^2 / \sqrt{3} a . В момент времени, когда скорость шарнира обратится в нуль, правое звено будет горизонтально (это, во-первых), а, во-вторых, вектор ускорения шарнира будет перпендикулярен неподвижному левому звену. Составляющая ускорения шарнира на правое звено будет равна a_{n 2} \cos \alpha=\frac{v^2}{2 a} , а так как

\alpha=\frac{\pi}{6}, то

a_{n 2}=\frac{v^2}{2 a \cos \alpha}=\frac{v^2}{\sqrt{3} a}. Таким образом.

a_{n 1}=a_{n 2}=\frac{v^2}{\sqrt{3} a}. Ответ a_{n 1}=a_{n 2}=\frac{v^2}{\sqrt{3} a}.

Задача 6

Условие

Стержень длиной L шарнирно соединён с муфтами A и B , которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам. Муфта A движется с постоянной скоростью V_0 . Найдите зависимость скорости и ускорения муфты B от угла \alpha .

8.24 Решение

Скорость муфты B не изменяется по направлению, муфта просто двигается по рейке. Значит a_n = 0, \ a = a_\tau.

По условию кинематической связи для стержня:

v_B \cos \alpha = v_0 \sin \alpha, упрощая

v_B = v_0 tg \alpha. Рассмотрим малый промежуток времени и произошедшие за него изменения. Нарисуем схему:

8.29 Получаем, что

L \sin (\alpha + \Delta \alpha) - L \sin \alpha = v_0 \Delta t, то есть

L \sin \alpha + L \Delta \alpha \cos \alpha - L \sin \alpha = v_0 \Delta t, итого

L \frac{\Delta \alpha}{\Delta t} \cos \alpha = v_0. Получается

\frac{\Delta \alpha}{\Delta t} = \frac{v_0}{L \cos \alpha}. Продифференцировав выражение для v_B получаем уравнение для тангенциального (оно же полное) ускорения

a_B = v_0 \frac{1}{\cos^2 \alpha} \frac{v_0}{L \cos \alpha} = \frac{v_0^2}{L \cos^3 \alpha}. Ответ v_B = v_0 tg \alpha , a_B = \frac{v_0^2}{L \cos^3 \alpha}.

Задача 7

Условие

Кривошип O A , вращаясь с угловой скоростью \omega , приводит в движение колесо радиуса r , катящееся по неподвижному колесу радиуса R=3 r . Найдите скорость точки B .

Найдите ускорение точки B . Проскальзывания нет.

8.25 Решение

МЦВ колеса радиуса r это точка касания с большим колесом, поскольку проскальзывания нет, её скорость 0. Скорость точки A равна

v_A = \omega (R + r) = 4 \omega r. Из равенства угловых скоростей для точек A и B получаем

v_B = 2 v_A = 8 \omega r. a_B = \frac{v_B^2}{2r} = \frac{64 \omega^2 r^2}{2r} = 32 \omega^2 r. Ответ v_B = 8 \omega r , a_B = 32 \omega^2 r .

Задача 8

Условие

Кривошип O A , вращаясь вокруг неподвижной оси O с угловой скоростью \omega , приводит в движение колесо 1 радиуса 3 r , катящееся по внутренней поверхности неподвижного колеса 2 . Колесо 1, соприкасаясь с колесом 3 радиуса r , заставляет его вращаться вокруг оси O . (Колесо 3 свободно надето на ось O и не связано с кривошипом O A .) Найдите угловую скорость колеса 3. Проскальзывания нет.

8.30 Решение

Мгновенным центром вращения колеса 1 является точка соприкосновения 1 и 2 колёс.

При этом скорость точки A это

v_A = 4 \omega r. Значит точка первого колеса, соприкасающаяся с третьим колесом имеет скорость

v = 2 v_a = 8 \omega r. При этом для третьего колеса мгновенный центр вращения и центр геометрический (точка O ) совпадают, откуда

\omega_3 r = 8 \omega r \ \Rightarrow \ \omega_3 = 8 \omega. Ответ \omega_3 = 8 \omega.