Относительность движения. Движение по окружности: Относительность движения

Задача 1

Условие

Радиус вращающейся планеты r=2000 км. Скорость точек экватора планеты v_1=0.6 км/с. В плоскости экватора по орбите радиусом R=3000 км движется спутник в сторону вращения планеты со скоростью v_2=2 км / с. Найдите скорость спутника относительно планеты.

Решение

За неподвижного систему отсчета примем систему, в которой заданы скорости v_1 и v_2 . В качестве движущейся системы отсчета возьмем планету. Абсолютная скорость спутника задана и равна v_2 . Нам надо найти скорость спутника относительно планеты, т.е. относительную скорость \vec{v}_{\text {отн }} .

Пусть в некоторый момент времени спутник проходит через точку М, жестко связанную с планетой мысленным стержнем ОМ (рис.). Скорость точки М в неподвижной системе отсчета и есть переносная скорость \vec{v}_{\text {пер }} . Найдем ее.

Угловая скорость вращения планеты равна \omega=\frac{v_1}{r}, переносная скорость - v_{пеp}=\omega R=v_1 \frac{R}{r} . По правилу сложения скоростей, \vec{v}_2=\vec{v}_{\text {отн }}+\vec{v}_{\text {пер }} Видим, что относительная скорость спутника сонаправлена с абсолютной скоростью \vec{v}_2 и равна (по модулю) v_{\text {отн }}=v_2-v_{\text {пер }}=v_2-v_1 \frac{R}{r}=1.1 \ км/с. Заметим, что ответ v_{\text {отн }}=v_2-v_1=1.4 км с (который нередко дают абитуриенты) неверен, так как из-за вращения планеты переносная скорость не равна v_1 .

Ответ v_{\text {отн }}=1.1 \ км/с.

Задача 2

Условие

По двум кольцевым дорогам радиуса R , лежащим в одной плоскости, движутся автомобили A_1 и A_2 со скоростями v_1=v=20 км / ч и v_2=2 v (см. рисунок). В некоторый момент автомобили находились в точках M и C на расстоянии R / 2 друг от друга. Размеры автомобилей малы по сравнению с R .

1) Найдите скорость автомобиля A_2 в системе отсчёта, связанной с автомобилем A_1 в этот момент.

2) Найдите скорость автомобиля A_2 в системе отсчёта, связанной с автомобилем A_1 , когда A_2 окажется в точке D .

16.1.с Решение

За неподвижную систему отсчета возьмем дорогу. Скорость автомобиля A_2 в этой системе отсчета есть абсолютная скорость. Обозначим через \vec{v}_{C_{абс}} и \vec{v}_{D_{абс}} абсолютные скорости автомобиля A_2 при прохождении им точек C и D (рис.). Согласно условию задачи, {v}_{C_{абс}}={v}_{D_{абс}} = v_2 = 2 v Движущуюся систему отсчета жестко свяжем с автомобилем A_1 . Ясно, что эта система вращается вокруг оси О с угловой скоростью \omega=\frac{v}{R} . Переносные скорости при прохождении автомобилем A_2 точек С и D обозначим \vec{v}_{C_{пер}} и \vec{v}_{D_{пер}} . Модули этих скоростей равны \begin{aligned}

& v_{C_{пер}}=\omega \cdot O C=\frac{v}{R}\left(R+\frac{R}{2}\right)=\frac{3}{2} v \text {, } \\

& v_{D_{\text {пер }}}=\omega \cdot O D=\frac{v}{R}\left(R+\frac{R}{2}+2 R\right)=\frac{7}{2} v .

\end{aligned} Нам надо найти относительные скорости \vec{v}_{C_{отн}} и \vec{v}_{D_{отн}} автомобиля A_2 в движущейся системе отсчета при прохождении им точек C и D.

По правилу сложения скоростей, \vec{v}_{C_{абс}}=\vec{v}_{C_{отн}}+\vec{v}_{C_{пер}}, \vec{v}_{D_{абс}}=\vec{v}_{D_{отн}}+\vec{v}_{D_{пер}}. Скорости автомобиля A_2 относительно автомобиля A_1 при прохождении точек C и D сонаправлены со скоростями (относительно дороги) автомобиля A_2 в этих точках и равны \begin{aligned}

& v_{C_{отн}}=v_{C \text { абс }}-v_{C \text { пер }}=2 v-\frac{3}{2} v=0,5 v=10 \text { км } / \text { ч, } \\

& v_{D_{отн}}=v_{D_{\text {абс }}}-v_{D_{\text {пер }}}=2 v+\frac{7}{2} v=5,5 v=110 \text { км } / \text { ч. }

\end{aligned}

Ответ 1) v_{C_{отн}}=10 \text { км} / \text {ч} ; 2) v_{D_{отн}}=110 \text { км} / \text {ч.}

Задача 3

Условие

На карусели радиуса R=15 \ м , вращающейся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью \omega=0.5 рад/с, на расстоянии R_0=10 м от центра стоит хоккеист. В некоторый момент времени он ударил клюшкой по шайбе. Шайба после его броска оставила на карусели след (рис.). Найдите величину начальной скорости шайбы относительно карусели и относительно Земли. Трением шайбы о карусель пренебречь.

16.2.с Примечание. При малых значениях \varphi (когда угол \varphi выражен в радианах) можно считать \sin \varphi \approx \varphi, \cos \varphi \approx 1 .

Решение

Рассмотрим движение шайбы относительно Земли. Выберем начало координат в центре карусели, ось O x - по направлению к шайбе в момент удара, ось O y - в горизонтальной плоскости перпендикуляр но оси O x . В данной системе отсчета шайба движется прямолинейно и равномерно. Обозначим проекции скорости шайбы на координатные оси через v_x и v_y .

В первом приближении можно считать, что участок карусели вблизи хоккеиста в начальный момент времени движется вдоль оси O y со скоростью \omega R_0 . Для того, чтобы шайба оставила на карусели след, направленный вдоль оси O x (как показано на рисунке), необходимо, чтобы проекция скорости шайбы на ось O y также равнялась \omega R_0 , то есть v_y=5 \ м/с .

Более удаленные от центр а участки кару сели движутся с большей скоростью, поэтому след шайбы не будет точно прямолинейным. Действительно, точка карусели, находившаяся в начальный момент времени на оси O x на расстоянии R_0+a от центра, сместится в направлении оси O y за время t на проявляется в смещении следа шайбы вниз на расстояние \omega a t . Подставляя вместо t время a / v_x , необходимое шайбе для смещения на расстояние a в горизонтальном направлении, получаем, что вертикальное смещение следа шайбы равно b=\omega a^2 / v_x .

Как видно из рисунка, данного в условии, при a=2.5 \ м \quad b=0.25 \ м , а при a=5 \ м \quad b=1 \ м . Отсюда получаем: \omega / v_x=0.04 \ м^{-1} .

Окончательно, скорость шайбы и ее проекции относительно Земли: v_x=12.5 \ м/с, \quad v_y=5 \ м/с, \quad v \approx 13.5 \ м/с . Начальная скорость шайбы относительно хоккеиста была направлена от центра карусели и равна 12.5 м/с.

Ответ v_x=12.5 \ м/с, \quad v_y=5 \ м/с, \quad v \approx 13.5 \ м/с .