Равномерное движение. Средняя скорость

Равномерное движение. Средняя скорость Равномерное движение. Средняя скорость Задача 1 Условие Автомобиль проехал три участка пути. За первый участок автомобиль прошёл треть всего пути, второй участок занял треть всего времени, а на третьем участке скорость равна средней скорости. Скорость на первом участке постоянна и равна $v_1$, скорость на втором участке постоянна и равна $v_2 = 0.5 v_1.$ Найдите среднюю скорость автомобиля за всё время. Решение Пусть третий участок пути равен $xL,$ где $L$ это всё пройденное расстояние. Тогда время затраченное на третий участок: $$t_3 = \frac{xL}{v_{ср}}} = \frac{xLt}{L} = xt,$$ где $t$ это общее время затраченное на весь маршрут. Теперь распишем $v_{ср}}$ двумя способами: $$v_{ср}} = \frac{L}{t} = \frac{v_1 \frac{t}{3} + v_2 (\frac{2}{3}t - xt) + v_{ср}} xt}{t} = \frac{v_1}{3} + v_2(\frac{2}{3} - x) + v_{ср}} x \ \Rightarrow \ v_{ср}} (1 - x) = \frac{1}{3}(v_1 + 2v_2).$$ $$v_{ср}} = \frac{L}{t} = \frac{L}{\frac{L}{3v_1} + \frac{L}{v_2} (\frac{2}{3} - x) + x \frac{L}{v_{ср}}}} \ \Rightarrow \ \frac{1 - x}{v_{ср}}} = \frac{1}{3v_1} + (\frac{2}{3} - x)\frac{1}{v_2}.$$ Перемножим итоговые выражения $$(1 - x)^2 = \frac{1}{9} + \frac{2v_2}{9v_1} + \frac{2v_1}{9v_2} + \frac{4}{9} - \frac{xv_1}{3v_2} - \frac{2x}{3}.$$ Обозначим $$\frac{v_1}{v_2} = \beta.$$ Тогда $$(1 - x)^2 = \frac{5}{9} + \frac{2 \beta}{9} + \frac{2}{9 \beta} - \frac{x \beta}{3} - \frac{2x}{3}.$$ Упрощая $$x^2 + x(\frac{\beta}{3} - 2) + \frac{4}{9} - \frac{2 \beta}{9} - \frac{2}{9 \beta} = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{(2 - \frac{\beta}{3}) \pm \sqrt{(2 - \frac{\beta}{3})^2 - 4 (\frac{4}{9} - \frac{2 \beta}{9} - \frac{2}{9 \beta})}}{2}.$$ Подставляя $\beta = 2:$ $$x = \frac{\frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9}}}{2} = \frac{2}{3} \pm \sqrt{\frac{5}{9}}.$$ Выбираем <<->>, так как $x$ не может быть больше 2/3. $$x = \frac{2}{3} - \sqrt{\frac{5}{9}}.$$ Подставляя $$v_{ср}} = \frac{v_1 + 2v_2}{3(1 - x)} = \frac{2v_1}{3(\frac{1}{3} + \sqrt{\frac{5}{9}})} = \frac{2v_1}{1 + \sqrt{5}}.$$ Ответ $\frac{2v_1}{1 + \sqrt{5}}.$