Баллистика. Относительность движения: Часть 1

Видео

Конспект

Баллистика. Относительность движения

Задача 1

Два камня брошены одновременно: один — с высоты h вертикально вниз со скоростью u , другой — с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v . Камни встретились над землёй. Спустя какое время? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Направим координатную ось y вертикально вверх. Начало координат ( y = 0 ) поместим на поверхность земли.

Запишем уравнения движения для каждого камня в проекции на ось y :

Камень, брошенный с высоты h вертикально вниз:

y_1(t) = h - ut - \frac{gt^2}{2} Камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх:

y_2(t) = vt - \frac{gt^2}{2} В момент встречи координаты камней совпадают, то есть y_1(t) = y_2(t) . Приравняем правые части уравнений:

h - ut - \frac{gt^2}{2} = vt - \frac{gt^2}{2} t = \frac{h}{u + v} Задача 2

Тяжёлую гирю отпускают без начальной скорости с некоторой высоты.

Одновременно с земли брошен камешек. Куда в начальный момент должна быть направлена скорость камня (если она достаточна по величине), чтобы камень попал в гирю во время падения? Сопротивление воздуха отсутствует.

Решение:

Перейдем в систему отсчета, связанную с гирей. В этой системе отсчета ускорение камня в точности равно нулю (в отсутствие сопротивления воздуха в системе отсчета, связанной с Землей, все тела движутся с ускорением свободного падения). Таким образом, камень движется относительно гири по прямой, и для попадания в начальный момент времени скорость камня должна быть направлена точно на гирю. Вернемся в систему отсчета, связанную с Землей. В начальный момент времени скорость гири равна нулю, и скорость камня относительно нее равна его скорости относительно Земли.

Значит, и в этой системе отсчета скорость камня должна быть направлена точно на гирю.

Задача 3

Два камня бросили одновременно из одной точки под углами 20^{\circ} и 80^{\circ} к горизонту с одинаковыми скоростями v_0 = 15 м/с. Найдите расстояние между камнями через \tau = 1 секунду. Ответ выразить в метрах. Если ответ не целый, то округлить до сотых. Ускорение свободного падения равно 10 м/c ^2 . Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение:

Перейдем в систему отсчета, связанную с третьим камнем, который начинает падать с ускорением g , с нулевой начальной скоростью. В этой системе отсчета и первый и второй камень движутся по прямым с постоянными скоростями v_0 , причём угол между этими прямыми равен 60^{\circ} . Из геометрии несложно видеть, что и расстояние между ними через \tau будет равно v_0 \tau = 15 м.

Задача 4

Одновременно из одной точки брошены два тела с одинаковыми по модулю скоростями |v_1| = |v_2| = v_0 : первое — вертикально вверх, второе — под углом \alpha к горизонту (см. рисунок). В дальнейшем они двигались поступательно. Определите скорость второго тела относительно первого в момент времени, когда второе тело будет находиться в точке A , достигнув половины своей максимальной высоты полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.

c12.1 Решение:

с12.5 Из рисунка видно

\begin{cases}

\vec{v}_1 = \vec{v}_{01} + \vec{g}t, \\

\vec{v}_2 = \vec{v}_{20} + \vec{g}t

\end{cases} \vec{v}_{отн} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{v}_{02} - \vec{v}_{01}, v_{отн} = 2v_0 \sin\left(\frac{90^\circ - \alpha}{2}\right) = v_0 \sqrt{2(1 - \sin\alpha)}.