Баллистика. Относительность движения: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 5

Из точек A и B , находящихся на одной горизонтальной прямой, одновременно бросили два камня с одинаковыми по модулю скоростями v_0 = 20 м/с. Один из них полетел по навесной траектории, а другой — по настильной, и каждый упал в точку старта другого камня. Известно, что угол бросания \alpha камня из точки A составляет 75^{\circ} (см. рисунок). Через какое время после бросания расстояние между камнями станет минимальным? Чему равно это расстояние? Укажите на рисунке положения камней в этот момент.

c12.2 Решение:

Рассмотрим полет камня, брошенного из точки A .

В проекции на вертикальную ось

v_0 t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} = 0, откуда время полета

t = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}. Расстояние L между точками A и B равно

L = tv_0 \cos \alpha = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = 20 \, м. Поскольку для камня, брошенного из точки B , можно аналогичным образом написать

L = \frac{v_0^2 \sin 2\beta}{g}, то мы получим \sin 2\alpha = \sin 2\beta , и, так как по условию \alpha \neq \beta , то 2\alpha = \pi - 2\beta , т. е.

\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}. Далее удобно перейти в систему отсчета, в которой камни движутся равномерно. В качестве тела отсчета выберем камень, вылетевший из точки A . Так как v_1 \perp v_2 и v_1 = v_2 = v_0 , то вектор \vec{v}_{отн} есть диагональ квадрата, построенного на векторах \vec{v}_2 и -\vec{v}_1 . Поэтому v_{отн} = \sqrt{2}v_0 .

c12.6 Из рисунка выше видно, что AC — кратчайшее расстояние между камнями. Найдем его: \delta = \alpha - 45^\circ = 30^\circ и, следовательно,

AC = \frac{1}{2} L = 10 \, м. Время, через которое расстояние между камнями станет минимальным, равно

t_{мин} = \frac{AC}{v_{отн} \sin \delta} = \frac{10}{20\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}} \approx 0.61 \, с. Положения камней можно найти параллельным переносом отрезка AC до тех пор, пока его начало и конец не окажутся лежащими на навесной и настильной траекториях камней (см. рисунок ниже), при этом A'C' = AC .

Задача 6

Две частицы начали движение из одной точки во взаимно перпендикулярных направлениях (рис.). Первая — с начальной скоростью 3v и постоянным ускорением 3a , сонаправленным с начальной скоростью, другая — со скоростью 4v и постоянным ускорением 4a , направленным противоположно начальной скорости.

Численно a = 0.538 м/с ^2 , v = 10 м/с.

Каким будет расстояние L между частицами в момент, когда их относительная скорость по модулю опять станет равна начальной относительной скорости? Чему будет равна минимальная относительная скорость v_{отн} частиц?

c12.3 Решение:

Перейдём в систему отсчета, связанную с одной из частиц (например, первой). Воспользуемся законом сложения скоростей и ускорений. Так как скорости частиц всё время остаются перпендикулярными (как и ускорения), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В итоге получим, что вторая частица начинает движение со скоростью 5v и ускорением 5a (см. рисунок).

Пусть вторая частица двигалась вдоль оси OX . В новой системе отсчёта угол \alpha между осью OX и начальной скоростью (и начальным ускорением) найдём из условия перпендикулярности скоростей (и ускорения частиц) в старой системе отсчёта: \tan \alpha = \frac{3}{4}, \quad \alpha = 36.87^\circ По аналогии с задачей о дальности полёта тела, брошенного под углом 2\alpha к вертикали, получим:

L = \frac{(5v)^2 \sin 4\alpha}{5a} = \frac{5v^2 \sin 4\alpha}{a} = 500 \, м. c12.7 Относительная скорость станет минимальной в тот момент, когда вектор скорости окажется перпендикулярным вектору ускорения. Таким образом,

v_{отн(мин)} = 5v \sin 2\alpha = 48 \, м/с.