Радиус кривизны

Радиус кривизны Задача 1 Условие Кусочек сахара брошен со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью $v_0$. Найдите ускорение пчелы в верхней точке траектории. Решение Горизонтальная составляющая скорости сахара не меняется, то есть равна в верхней точке $v_0 \cos \alpha$, и, так как точка верхняя, совпадает с полной скоростью сахара. Нормальное ускорение сахара в верхней точке траектории равно $g.$ Значит радиус кривизны траектории сахара в верхней точки равен $$r = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{g}.$$ Так как траектории сахара и пчелы совпадают, в верхней точке радиус кривизны одинаков. Ускорение пчелы имеет только нормальную составляющую, так как скорость пчелы не меняется. Тогда $$a_{пч} = \frac{v_0^2}{r} = \frac{g}{\cos^2 \alpha}.$$ Ответ $\frac{g}{\cos^2 \alpha}.$ Задача 2 Условие Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке $A$ скорость кусочка была равна $v_0$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью $v_0$. Найдите ускорение пчелы в точке $A$. Решение Нормальное ускорение кусочка сахара равно проекции ускорения свободного падения на ось, перпендикулярную скорости $$a_n = g \cos \alpha.$$ Тогда радиус кривизны в точке $A$ $$r = \frac{v_0^2}{g \cos \alpha}.$$ Ускорение пчелы имеет только нормальную составляющую, так как скорость пчелы не меняется. Значит $$a_{пч} = \frac{v_0^2}{r} = g \cos \alpha.$$ Ответ $g \cos \alpha.$ Задача 3 Условие Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке $A$ скорость кусочка была равна $v$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела так, что её высота увеличивается с постоянной скоростью $v$. Найдите ускорение пчелы в точке $A$. Решение Как было сказано в предыдущей задаче, радиус кривизны в точке $A$ $$r = \frac{v^2}{g \cos \alpha}.$$ Пусть скорость пчелы равна $v_{пч}$. Тогда вертикальная составляющая скорости равна $v_{пч} \sin \alpha$. С другой стороны по условию это $v$. Получается, что $$v_{пч} = \frac{v}{\sin \alpha}.$$ Так как скорость изменения высоты постоянна, проекция ускорения пчелы на вертикальную ось равна 0. Значит ускорение пчелы горизонтально. Значит $$a_n = a_{пч} \sin \alpha = \frac{v_{пч}^2}{r} \ \Rightarrow \ a_{пч} = \frac{v_{пч}^2}{r \sin \alpha} = g \frac{ \cos \alpha}{\sin^3 \alpha}.$$ Ответ $g \frac{ \cos \alpha}{\sin^3 \alpha}.$ Задача 4 Условие Найдите радиус $r$ кривизны параболы $$y=a x^2$$ в её вершине. (a > 0) Решение Приблизим параболу окружностью, уравнение которой ($x_0 = 0$ из симметрии) $$ x^2 + (y - y_0)^2 = r^2. $$ Первые производные $y^{\prime}(0)$ для параболы и окружности должны совпадать ($y = y^{\prime} = 0$), так же, как и вторые производные: $$2a = \frac{-(y - y_0) - (-x)y^{\prime}}{(y - y_0)^2} = \frac{y_0}{y_0^2} = \frac{1}{y_0} \ \Rightarrow \ y_0 = \frac{1}{2a}.$$ Подставляя в уравнение окружности, получаем: $$ 0 + (0 - \frac{1}{2a})^2 = r^2 \ \Rightarrow \ r = \frac{1}{2a}. $$ Ответ $\frac{1}{2a}.$ Задача 5 Условие Найдите радиусы кривизны эллипса $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ в точках его пересечения с осями координат. (a, b > 0) Решение Сначала рассмотрим точку $(0, -b)$ и параболу с уравнением $$y - y_0 = \frac{1}{2r} x^2.$$ Первая и вторая производные $y^{\prime} (x), \ y^{\prime \prime} (x)$ у параболы и эллипса совпадают в данной точке: $$y^{\prime} = -2x b^2/(2y a^2) = 0,$$ $$y^{\prime \prime} = \frac{b^2y + xb^2 y'}{y^2 a^2} = \frac{b^3}{b^2 a^2} = \frac{b}{a^2},$$ то есть $$\frac{1}{r_1} = \frac{b}{a^2} \ \Rightarrow \ r_1 = \frac{a^2}{b}.$$ Понятно, что радиус кривизны в точке $(0, \ b)$ точно такой же. Аналогичное решение приводит к тому, что $$r_2 = \frac{b^2}{a}.$$ Ответ $r_1 = \frac{a^2}{b}$; $r_2 = \frac{b^2}{a}.$