Радиус кривизны: Часть 1

Задача 1

Условие

Кусочек сахара брошен со скоростью v_0 под углом \alpha к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью v_0 . Найдите ускорение пчелы в верхней точке траектории.

Решение

Горизонтальная составляющая скорости сахара не меняется, то есть равна в верхней точке v_0 \cos \alpha , и, так как точка верхняя, совпадает с полной скоростью сахара. Нормальное ускорение сахара в верхней точке траектории равно g. Значит радиус кривизны траектории сахара в верхней точки равен

r = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{g}. Так как траектории сахара и пчелы совпадают, в верхней точке радиус кривизны одинаков. Ускорение пчелы имеет только нормальную составляющую, так как скорость пчелы не меняется. Тогда

a_{пч} = \frac{v_0^2}{r} = \frac{g}{\cos^2 \alpha}. Ответ \frac{g}{\cos^2 \alpha}.

Задача 2

Условие

Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке A скорость кусочка была равна v_0 и направлена под углом \alpha к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью v_0 . Найдите ускорение пчелы в точке A .

Решение

Нормальное ускорение кусочка сахара равно проекции ускорения свободного падения на ось, перпендикулярную скорости

a_n = g \cos \alpha. Тогда радиус кривизны в точке A

r = \frac{v_0^2}{g \cos \alpha}. Ускорение пчелы имеет только нормальную составляющую, так как скорость пчелы не меняется. Значит

a_{пч} = \frac{v_0^2}{r} = g \cos \alpha. Ответ g \cos \alpha.

Задача 3

Условие

Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке A скорость кусочка была равна v и направлена под углом \alpha к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела так, что её высота увеличивается с постоянной скоростью v . Найдите ускорение пчелы в точке A .

Решение

Как было сказано в предыдущей задаче, радиус кривизны в точке A

r = \frac{v^2}{g \cos \alpha}. Пусть скорость пчелы равна v_{пч} . Тогда вертикальная составляющая скорости равна v_{пч} \sin \alpha . С другой стороны по условию это v . Получается, что

v_{пч} = \frac{v}{\sin \alpha}. Так как скорость изменения высоты постоянна, проекция ускорения пчелы на вертикальную ось равна 0. Значит ускорение пчелы горизонтально. Значит

a_n = a_{пч} \sin \alpha = \frac{v_{пч}^2}{r} \ \Rightarrow \ a_{пч} = \frac{v_{пч}^2}{r \sin \alpha} = g \frac{ \cos \alpha}{\sin^3 \alpha}. Ответ g \frac{ \cos \alpha}{\sin^3 \alpha}.

Задача 4

Условие

Найдите радиус r кривизны параболы

y=a x^2 в её вершине. (a > 0)

Решение

Приблизим параболу окружностью, уравнение которой ( x_0 = 0 из симметрии)

x^2 + (y - y_0)^2 = r^2. Первые производные y^{\prime}(0) для параболы и окружности должны совпадать ( y = y^{\prime} = 0 ), так же, как и вторые производные:

2a = \frac{-(y - y_0) - (-x)y^{\prime}}{(y - y_0)^2} = \frac{y_0}{y_0^2} = \frac{1}{y_0} \ \Rightarrow \ y_0 = \frac{1}{2a}. Подставляя в уравнение окружности, получаем:

0 + (0 - \frac{1}{2a})^2 = r^2 \ \Rightarrow \ r = \frac{1}{2a}. Ответ \frac{1}{2a}.

Задача 5

Условие

Найдите радиусы кривизны эллипса

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 в точках его пересечения с осями координат. (a, b > 0)

Решение

Сначала рассмотрим точку (0, -b) и параболу с уравнением

y - y_0 = \frac{1}{2r} x^2. Первая и вторая производные y^{\prime} (x), \ y^{\prime \prime} (x) у параболы и эллипса совпадают в данной точке:

y^{\prime} = -2x b^2/(2y a^2) = 0, y^{\prime \prime} = \frac{b^2y + xb^2 y'}{y^2 a^2} = \frac{b^3}{b^2 a^2} = \frac{b}{a^2}, то есть

\frac{1}{r_1} = \frac{b}{a^2} \ \Rightarrow \ r_1 = \frac{a^2}{b}. Понятно, что радиус кривизны в точке (0, \ b) точно такой же. Аналогичное решение приводит к тому, что

r_2 = \frac{b^2}{a}. Ответ r_1 = \frac{a^2}{b} ; r_2 = \frac{b^2}{a}.