Баллистика. Относительность движения: Часть 3

Видео

Конспект

Задача 7

Однажды Галилео Галилей бросал камешки с Пизанской башни. Один из камешков он бросил горизонтально со скоростью u = 11 м/с из точки, находящейся на высоте H = 51 м над поверхностью земли. Камешек полетел в направлении мальчика, стоящего на расстоянии L = 68 м от башни. В то же мгновение этот мальчик бросил свой камешек с помощью пращи со скоростью v = 26 м/с, причём вектор этой скорости был направлен на точку вылета камня Галилея.

Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, каким будет минимальное расстояние между камешками в процессе полёта.

Решение:

Удобно перейти в систему отсчета, связанную с одним из камней. В системе отсчета, связанной с камнем Галилея, камень мальчика движется равномерно и прямолинейно со скоростью \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} . l_{min} соответствует длине перпендикуляра AC , опущенного из точки положения камня Галилея (A) на линию движения камня мальчика BC . При нахождении вектора скорости \vec{v}' он получен как сумма векторов \vec{v} и -\vec{u} . Как видно из построения, l_{min} = \sqrt{L^2 + H^2} \cdot \sin \beta.

С другой стороны, по теореме синусов для векторного треугольника скоростей (в котором угол напротив стороны |\vec{u}| равен \beta , а угол напротив стороны |\vec{v}'| равен 180^\circ - \alpha ) находим: \sin \beta = \sin \alpha \frac{u}{v}, \quad \cos \alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2 + H^2}}, \quad и \quad \tan \alpha = \frac{H}{L}.

Учитывая, что \cos \alpha = \frac{L}{\sqrt{L^2 + H^2}} = \frac{4}{5}, получаем: l_{min} = \frac{uH}{\sqrt{u^2 + v^2 + \frac{2uvL}{\sqrt{L^2 + H^2}}}} \approx 15{,}2 \, м.

c12.8 Задача 8

Из точки, находящейся над землёй, одновременно бросили два тела: одно вертикально вверх с начальной скоростью v_0 , второе — горизонтально с начальной скоростью 2v_0 . Найти расстояние между телами в тот момент, когда первое тело поднялось на максимальную высоту над поверхностью земли. Второе тело в этот момент времени ещё не успело упасть на землю.

Решение:

Найдем время движения первого тела до полной остановки. Конечная скорость равна 0

0 = v_0 - gt \quad \Rightarrow \quad t = \frac{v_0}{g} Введем декартовую систему координат, которая двигается вниз с ускорением g . Оси направлены: горизонтально вдоль вектора скорости 2v_0 и вертикально вдоль вектора скорости v_0 .

В этой системе координат первое тело движется по вертикальной оси с постоянной скоростью v_0 . Тогда за время до снижения скорости первое тело пройдет

S_1 = v_0 t = \frac{v_0^2}{g} Рассмотрим второе тело. В данной системе координат оно будет двигаться только горизонтально с постоянной скоростью 2v_0 и за время t пройдет расстояние

S_2 = 2v_0 t = \frac{2v_0^2}{g} По теореме Пифагора

L = \sqrt{S_1^2 + S_2^2} = \sqrt{5} \cdot \frac{v_0^2}{g} = \sqrt{5} \cdot \frac{(10 \, м/с)^2}{10 \, м/с^2} \approx 22 \, м Задача 9

Ракета удаляется от поверхности Земли с постоянной скоростью v_0 = 200 м/с, направленной строго вертикально. Из неподвижного орудия под углом \alpha к горизонту выпускается снаряд с такой же по величине начальной скоростью v_0 . В каком диапазоне должен лежать угол \alpha , чтобы в системе отсчёта, движущейся поступательно вместе со снарядом, скорости ракеты и орудия хотя бы в какой-то момент времени были взаимно перпендикулярны? Через какое время \tau это произойдёт? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Поверхность Земли считать плоской.

Решение:

Из рисунка видно, что угол \alpha должен лежать в диапазоне от 60^\circ (включительно) до 90^\circ (не включительно) (на рисунке диапазон изображён серой штриховкой).

c12.9 При \alpha = 60^\circ имеем

g\tau = v_0 \sin \alpha - \frac{v_0}{2} = v_0 \left( \sin \alpha - \frac{1}{2} \right), откуда

\tau = \frac{v_0}{g} \left( \sin \alpha - \frac{1}{2} \right) = \frac{v_0}{2g} (\sqrt{3} - 1) = 7{,}5 \, с.