Баллистика. Координаты: Часть 1

Задача 1

Условие

Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u . В неё бросил камень неопытный «охотник», причём бросок был сделан без упреждения, т. е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом \alpha к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всё же попал в неё?

c9_1

Решение

Пусть утка летела на высоте H.

Тогда

H = v \sin \alpha t - \frac{g t^2}{2}. Понятно, что одну и ту же высоту можно достичь (уравнение квадратное) в два разных времени:

\frac{gt^2}{2} - v \sin \alpha t + H = 0 \ \Rightarrow \ t = \frac{v \sin \alpha \pm \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g}. Второе время, прошедшее после броска, соответствует моменту попадания в утку.

t_{встр} = \frac{v \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g}. Первое время, прошедшее после броска, соответствует моменту прохождения начального положения утки. Начальное расстояние по горизонтали между уткой и <<охотником>>:

L = H ctg \alpha. Скорость сближения утки и камня по горизонтали:

v_{сбл} = v \cos \alpha - u. Собирая:

\frac{v \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g} = \frac{H ctg \alpha}{v \cos \alpha - u}. v^2 \cos \alpha \sin \alpha - uv \sin \alpha + v \cos \alpha \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH} - u \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH} = gh ctg \alpha. Решая далее, получаем:

H=\frac{2 u}{g}(v \cos \alpha-u) tg^2 \alpha. Ответ \frac{2 u}{g}(v \cos \alpha-u) tg^2 \alpha.

Задача 2

Условие

Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будет падать мины, если их начальная скорость v , угол наклона горы \alpha и угол стрельбы по отношению к горизонту \beta ?

с9_2

Решение

Пусть ось X направлена вдоль наклонной плоскости, 0 по оси X совмещён с положением миномёта.

x = vt \cos \beta + \frac{g_x t^2}{2} = vt \cos \beta - \frac{g t^2 \sin \alpha}{2}. Пусть ось Y направлена перпендикулярно наклонной плоскости, 0 по оси Y совмещён с положением миномёта.

0 = vt \sin \beta + \frac{g_y t^2}{2} = vt \sin \beta - \frac{g t^2 \cos \alpha}{2}. Находим время:

t = \frac{2v}{g} \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}. Подставляем в выражение для оси X:

x = \frac{2v^2}{g} \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} \cos \beta - \frac{4v^2}{g} \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha} \frac{\sin \alpha}{2} = \frac{2 v^2 \sin \beta}{g \cos \alpha} (\cos \beta - \sin \beta tg \alpha). Ответ \frac{2 v^2 \sin \beta}{g \cos \alpha} (\cos \beta - \sin \beta tg \alpha).

Задача 3

Условие

С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением a ? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно L , пушка стреляет под углом \alpha к горизонту.

Решение

Высота, на которую взлетает ракета, зависит от времени как

H = \frac{at^2}{2}. Высота, на которой находится снаряд из пушки, зависит от времени как

h = v t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}. Условием встречи является равенство высот и времён, а кроме того равенство координат по оси X:

L = v t \cos \alpha \ \Rightarrow \ t = \frac{L}{v \cos \alpha}. Теперь запишем условие встречи

\frac{a}{2} \frac{L^2}{v^2 \cos^2 \alpha} = L tg \alpha - \frac{g}{2} \frac{L^2}{v^2 \cos^2 \alpha}. Упрощая

a \frac{L}{v^2 \cos \alpha} = 2 \sin \alpha - g \frac{L}{v^2 \cos \alpha}. Далее

a L = v^2 \sin (2 \alpha) - g L \ \Rightarrow \ v = \sqrt{\frac{(a + g)L}{\sin (2 \alpha)}}. Ответ v = \sqrt{\frac{(a + g)L}{\sin (2 \alpha)}}.