Баллистика. Координаты

Баллистика. Координаты Задача 1 Условие Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью $u$. В неё бросил камень неопытный «охотник», причём бросок был сделан без упреждения, т. е. в момент броска скорость камня $v$ была направлена как раз на утку под углом $\alpha$ к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень всё же попал в неё? Решение Пусть утка летела на высоте $H.$ Тогда $$H = v \sin \alpha t - \frac{g t^2}{2}.$$ Понятно, что одну и ту же высоту можно достичь (уравнение квадратное) в два разных времени: $$\frac{gt^2}{2} - v \sin \alpha t + H = 0 \ \Rightarrow \ t = \frac{v \sin \alpha \pm \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g}.$$ Второе время, прошедшее после броска, соответствует моменту попадания в утку. $$t_{встр} = \frac{v \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g}.$$ Первое время, прошедшее после броска, соответствует моменту прохождения начального положения утки. Начальное расстояние по горизонтали между уткой и <<охотником>>: $$L = H ctg \alpha.$$ Скорость сближения утки и камня по горизонтали: $$v_{сбл} = v \cos \alpha - u.$$ Собирая: $$\frac{v \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH}}{g} = \frac{H ctg \alpha}{v \cos \alpha - u}.$$ $$v^2 \cos \alpha \sin \alpha - uv \sin \alpha + v \cos \alpha \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH} - u \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha - 2gH} = gh ctg \alpha.$$ Решая далее, получаем: $$H=\frac{2 u}{g}(v \cos \alpha-u) tg^2 \alpha.$$ Ответ $\frac{2 u}{g}(v \cos \alpha-u) tg^2 \alpha.$ Задача 2 Условие Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будет падать мины, если их начальная скорость $v$, угол наклона горы $\alpha$ и угол стрельбы по отношению к горизонту $\beta$? Решение Пусть ось $X$ направлена вдоль наклонной плоскости, 0 по оси $X$ совмещён с положением миномёта. $$x = vt \cos \beta + \frac{g_x t^2}{2} = vt \cos \beta - \frac{g t^2 \sin \alpha}{2}.$$ Пусть ось $Y$ направлена перпендикулярно наклонной плоскости, 0 по оси $Y$ совмещён с положением миномёта. $$0 = vt \sin \beta + \frac{g_y t^2}{2} = vt \sin \beta - \frac{g t^2 \cos \alpha}{2}.$$ Находим время: $$t = \frac{2v}{g} \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}.$$ Подставляем в выражение для оси $X:$ $$x = \frac{2v^2}{g} \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} \cos \beta - \frac{4v^2}{g} \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha} \frac{\sin \alpha}{2} = \frac{2 v^2 \sin \beta}{g \cos \alpha} (\cos \beta - \sin \beta tg \alpha).$$ Ответ $\frac{2 v^2 \sin \beta}{g \cos \alpha} (\cos \beta - \sin \beta tg \alpha).$ Задача 3 Условие С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением $a$? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно $L$, пушка стреляет под углом $\alpha$ к горизонту. Решение Высота, на которую взлетает ракета, зависит от времени как $$H = \frac{at^2}{2}.$$ Высота, на которой находится снаряд из пушки, зависит от времени как $$h = v t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2}.$$ Условием встречи является равенство высот и времён, а кроме того равенство координат по оси $X:$ $$L = v t \cos \alpha \ \Rightarrow \ t = \frac{L}{v \cos \alpha}.$$ Теперь запишем условие встречи $$\frac{a}{2} \frac{L^2}{v^2 \cos^2 \alpha} = L tg \alpha - \frac{g}{2} \frac{L^2}{v^2 \cos^2 \alpha}.$$ Упрощая $$a \frac{L}{v^2 \cos \alpha} = 2 \sin \alpha - g \frac{L}{v^2 \cos \alpha}.$$ Далее $$a L = v^2 \sin (2 \alpha) - g L \ \Rightarrow \ v = \sqrt{\frac{(a + g)L}{\sin (2 \alpha)}}.$$ Ответ $v = \sqrt{\frac{(a + g)L}{\sin (2 \alpha)}}.$