Баллистика. Столкновения и отскоки: Часть 1

Задача 1

Условие

На гладкую неподвижную наклонную плоскость с углом наклона \alpha налетает стальной шарик под углом \beta . При каких \beta шарик сможет вернуться в точку его первого удара о плоскость? Все соударения считать упругими.

11.1с Решение

Движение шарика в целом в этом случае не является равноускоренным из-за ударов о плоскость. Однако в промежутках между ударами шарик движется под действием только силы тяжести и, следовательно, равноускоренно. Поэтому для каждого промежутка можно использовать формулы равноускоренного движения, правда для этого всякий раз нам придется искать начальную скорость.

Как известно, при упругом ударе составляющая скорости шарика, параллельная плоскости, не изменяется, а перпендикулярная плоскости составляющая лишь меняет знак, также не изменяясь по величине. Тогда, зная скорость шарика \vec{v}_0 перед первым ударом, найдем скорость после этого удара и подставим ее в формулу для первого участка равноускоренного движения. Затем по формуле найдем скорость шарика перед вторым ударом, и т. д. Другими словами, формулы плюс условия упругого удара полностью определяют движение шарика.

Осталось только определиться с выбором осей. Если, по традиции, направить оси горизонтально и вертикально, то мы, конечно, выиграем при написании уравнений движения для отдельных участков (так как проекция шарика на горизонтальную ось движется равномерно), но зато очень сложными станут условия отскока шарика. Поэтому направим оси X и Y параллельно и перпендикулярно поверхности плоскости, и запишем уравнение в проекциях на эти оси:

x=v_{0 x} \cdot t+\frac{g_x \cdot t^2}{2}, \ y=v_{0 y} \cdot t+\frac{g_y \cdot t^2}{2}, где

v_{0 x}=v_0 \cdot \cos \beta, \ v_{0 y}=v_0 \cdot \sin \beta, \ g_x=-g \cdot \sin \alpha, \ g_y=-g \cdot \cos \alpha. Шарик ударится о плоскость второй раз, когда координата y станет равна нулю (еще одно преимущество выбранных нами осей). Решив уравнение

0=v_{0 y} \cdot \tau+\frac{g_y \cdot \tau^2}{2}, найдем, что второй удар произойдет через время

\tau=\frac{2 v_{0 y}}{-g_y}=\frac{2 v_0 \cdot \sin \beta}{g \cdot \cos \alpha}. Чтобы найти скорость шарика перед вторым ударом (т. е. через время т), запишем в проекциях на наши оси:

v_x=v_{0 x}+g_x \cdot t, \ v_y=v_{0 y}+g_y \cdot t . Подставляя

t=\tau=\frac{2 v_{0 y}}{-g_y}, получим, что перед вторым ударом v_y=-v_{0 y} и, следовательно, сразу после удара v_y=v_{0 y} . Этот результат позволяет облегченно вздохнуть - дальше можно не считать. Так как время между ударами зависит только от U_{0 y} , все удары происходят через одинаковое время.

Ответить на вопрос задачи теперь удобнее всего, нарисовав друг под другом графики зависимости координат шарика от времени.

11.6с Шарик вернется в ту же точку, если в некоторый момент x=y=0 , что может быть, только если T=n \cdot \tau , где n - целое число. Итак,

\frac{2 v_0 \cdot \cos \beta}{g \cdot \sin \alpha}=n \cdot \frac{2 v_0 \cdot \sin \beta}{g \cdot \cos \alpha}, откуда

ctg \beta=n \cdot tg \alpha. Интересно, что при четных и нечетных n шарик ведет себя несколько по-разному. При четных n средний удар шарика (всего ударов n+1 ) происходит перпендикулярно плоскости, и шарик возвращается обратно по той же траектории. Если же n нечетно, то после половины ударов шарик летит вертикально вверх, падает обратно и также возвращается, повторяя весь пройденный путь.

Ответ ctg \beta=n \cdot tg \alpha.

Задача 2

Условие

Шарик свободно падает с высоты h на наклонную плоскость, составляющую угол \alpha с горизонтом. Найти отношение расстояний между точками, в которых подпрыгивающий шарик касается наклонной плоскости. Соударения шарика с плоскостью абсолютно упругие.

11.2с Решение

Определим скорость, с которой шарик упадет на плоскость, из закона сохранения энергии:

v_0=\sqrt{2 g h}. Нарисуем треугольник перемещений (см. рис).

11.7c Из того, что при упругом ударе угол падения равен углу отражения получаем, что треугольник равнобедренный. Тогда можно приравнять равные стороны этого треугольника:

v_0 t=\frac{g t^2}{2}. Откуда

t=\frac{2 v_0}{g}. Опустим высоту из верхней вершины. Так как треугольник равнобедренный, то высота так же является медианой:

\frac{S}{2}=v_0 t \cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)=v_0 t \sin \alpha=\frac{2 v_0^2}{g} \sin \alpha. Если подставим скорость, то получим искомое

S=8 h \sin \alpha. Ответ S=8 h \sin \alpha.