Баллистика. Столкновения и отскоки: Часть 2

Задача 3

Условие

Шарик падает без начальной скорости с высоты H на наклонную плоскость, угол наклона которой равен \alpha . Через какое время шарик ударится о стенку, расположенную перпендикулярно наклонной плоскости и находящуюся на расстоянии L от первой точки удара шарика об эту плоскость. Все удары шарика о наклонную плоскость упругие.

11.3с Решение

Скорость шарика непосредственно перед ударом о наклонную плоскость равна

v = \sqrt{2gH}. Проекция этой скорости на ось, параллельную наклонной плоскости, (и направленную вниз) равна

v_{\parallel} = \sqrt{2gH} \sin \alpha, а на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, (и направленную вверх) равна

v_{\perp} = -\sqrt{2gH} \cos \alpha. После удара v_{\parallel} не меняется, v_{\perp} меняет знак на противоположный. Далее для удара о стенку:

L = v_{\parallel} t + g \sin \alpha \frac{t^2}{2} t = \frac{-v_{\parallel} \pm \sqrt{v_{\parallel}^2 + 2gL \sin \alpha}}{g \sin \alpha} = \frac{-\sqrt{2gH} \sin \alpha + \sqrt{2gH \sin^2 \alpha + 2gL \sin \alpha}}{g \sin \alpha} = \sqrt{\frac{2H}{g} + \frac{2L}{g \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{2H}{g}} Ответ \sqrt{\frac{2H}{g} + \frac{2L}{g \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{2H}{g}}.

Задача 4

Условие

В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен \tau . Дно коробки образует угол \alpha с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу после ударов.

Решение

Самое важное в этой задаче то, что шарик прыгает по одной и той же траектории. Действительно, при упругом ударе угол падения равен углу отскока. Если шарик падает на стенку коробки так, что его скорость не перпендикулярна стенке, то при отскоке его траектория отличалась бы от траектории подлета - это показано на отдельном мини-рисунке. Следовательно, v_2 перпендикулярен стенке. А это значит, что вектора скоростей v_1 и v_2 перпендикулярны друг другу.

11.8с Нарисуем треугольник скоростей. Из него следует, что

\begin{aligned}

& v_1=g \tau \cos \alpha \\

& v_2=g \tau \sin \alpha

\end{aligned} Ответ v_1=g \tau \cos \alpha , v_2=g \tau \sin \alpha .

Задача 5

Условие

Со стола высоты h сбрасывают упругий шарик, сообщая ему некоторую горизонтальную скорость. В момент, когда шарик испытывает одно из бесчисленных упругих соударений с полом, с того же стола горизонтально сбрасывают другой шарик, сообщая ему такую скорость, чтобы он столкнулся с первым шариком до следующего его удара о пол. На какой высоте произошла встреча?

Решение

Пусть скорость с которой сбрасывают первый шарик равна v_0. Тогда горизонтальная проекция его скорости постоянно равна v_0, а вертикальная проекция достигает максимума равного \sqrt{2gh} сразу после удара о стол.

Пусть второй шарик сбрасывают в момент n -ого удара первого шарика о стол. Искомая скорость второго шарика назовём v. Время между двумя ударами первого шарика о стол равно

\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}. По вертикальной оси

H = h - \frac{gt^2}{2} = \sqrt{2gh} t - \frac{gt^2}{2} \ \Rightarrow \ \Rightarrow \ t = \frac{h}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h}{2g}} \ \Rightarrow \ \Rightarrow \ H = h - \frac{g}{2} \frac{h}{2g} = \frac{3}{4}h Ответ \frac{3}{4}h .

Задача 6

Условие

По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса R под углом \alpha к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?

Решение

Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра

x=v t \sin \alpha y=v t \cos \alpha-\frac{g t^2}{2} Учитываем, что перемещение по O x равно длине окружности, а по O y-0 :

v t \cos \alpha-\frac{g t^2}{2}=0, v t \sin \alpha=2 \pi n R, n \in \mathbb{N}. Время t найдем как

\begin{gathered}

t=\frac{2 \pi n R}{v \sin \alpha} \\

2 v \cos \alpha=g \frac{2 \pi n R}{v \sin \alpha}

\end{gathered} Отсюда выражаем v :

v=\sqrt{2 \pi R g n / \sin 2 \alpha}. Ответ \sqrt{2 \pi R g n / \sin 2 \alpha}.

Задача 7

Условие

В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о её стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен t_1 , а при движении справа налево t_2 . Определите радиус лунки.

11.5с Решение

Так как радиус лунки является перпендикуляром к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика (в моменты удара и отскока) и радиусом одинаковы. Поэтому наша задачи аналогична тому, что из начальной точки одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями под углами к горизонту \beta и (\beta+2 \alpha) соответственно, причем дальности полета обоих случаях одинаковы.

Воспользуемся известной формулой для дальности полета S тела вблизи поверхности земли:

S=\frac{v_0^2 \sin 2 \beta}{g}=\frac{v_0^2 \sin 2(\beta+2 \alpha)}{g}. Откуда получим:

\sin 2 \beta=\sin 2(\beta+2 \alpha), \text { или } \beta+\alpha=45^{\circ}. Тогда радиус лунки можно определить как

R=\frac{S}{2 \cos (\beta+\alpha)}=\frac{S}{\sqrt{2}}. Для определения дальности полета S запишем уравнения движения тела в проекции на ось Ox системы координат:

x_1=v_0 \cos \beta t- \frac{1}{2} g t^2, \ x_2=v_0 \cos (\beta+2 \alpha) t-\frac{1}{2} g t^2. В моменты времени t_1 и t_2 координаты x_1 и x_2 становятся равными нулю. Поэтому

0=v_0 \cos \beta t_1- \frac{1}{2} g t_1^2, \ 0=v_0 \cos (\beta+2 \alpha) t_2-\frac{1}{2} g t_2^2. или с учетом, что \alpha=45^{\circ}-\beta :

v_0 \cos \beta= \frac{1}{2} g t_1, \ v_0 \sin \beta= \frac{1}{2} g t_2 . Перемножая последние соотношения, получим:

v_0^2 \sin \beta \cos \beta= \frac{1}{4} g^4 t_1 t_2. Следовательно, дальность полета равна

S=\frac{v_0^2 \sin 2 \beta}{g}=\frac{g t_1 t_2}{2}, а радиус лунки

R=\frac{S}{\sqrt{2}}=\frac{g t_1 t_2}{2 \sqrt{2}} . Ответ \frac{g t_1 t_2}{2 \sqrt{2}} .

Задача 8

Условие

Небольшой мяч, брошенный с поверхности земли, через t_1 упруго ударился о вертикальную стену дома и через t_2 упал на землю. На какой высоте находится место удара?

Решение

Движение по вертикальной оси не меняется от удара о вертикальную стену. Значит, если бы стены не было, общее время полёта составляло бы

\tau = t_1 + t_2. То есть

\frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = \tau \ \Rightarrow \ v_0 \sin \alpha = \frac{g (t_1 + t_2)}{2}. Высота удара

h = v_0 \sin \alpha t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = \frac{g t_1 (t_1 + t_2)}{2} - \frac{gt_1^2}{2} = \frac{g t_1 t_2}{2}. Ответ \frac{g t_1 t_2}{2}.