Относительность одномерного движения: Часть 2

Видео

Конспект

Задача 4

Условие

В изображённой на рисунке системе нити нерастяжимы и невесомы, блоки невесомы, трением можно пренебречь. Тележку, на которой расположены брусок и наблюдатель, начинают двигать влево со скоростью v . Чему равна скорость бруска с точки зрения наблюдателя?

14.1 Решение

Введём горизонтальную ось Ox , направленную влево. Координаты тележки и отмеченного на рисунке ниже блока обозначим x_т и x_{бл} . Ноль по оси Ox совместим со стеной справа. И тележку, и брусок и блок будем считать точечными, это не повлияет на решение.

14.2 Длина нити (за вычетом участков лежащих на блоках):

L = 2x_{бл} + x_т \ => \ 0 = 2v_{бл} + v_т, в лабораторной СО.

Переходя в СО, связанную с тележкой (и наблюдателем), получаем ответ 3v/2.

Задача 5

Условие

Экспериментатор Глюк наблюдал за встречным движением скорого поезда и электрички. Оказалось, что каждый из поездов прошёл мимо Глюка за одно и то же время t_1 = 23 с. А в это время друг Глюка, теоретик Баг, ехал в электричке и определил, что скорый поезд прошёл мимо него за t_2 = 13 с. Во сколько раз скорый поезд длиннее электрички?

Решение

Введем обозначения: v_1, v_2, t_1, t_2, L_1, L_2 – соответственно скорости скорого поезда и электрички, время, зафиксированное Глюком, время, зафиксированное Багом, длина скорого и длина электрички.

v_1 t_1 = L_1 v_2 t_1 = L_2 (v_1 + v_2) t_2 = L_1

Выразим значение L_1 из третьего уравнения и подставим в первое v_1 t_1 = (v_1 + v_2) t_2

v_1 t_1 = v_1 t_2 + v_2 t_2 \quad v_1(t_1 - t_2) = v_2 t_2 \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_1 - t_2}

Поделим почленно одно уравнение на другое

\frac{L_1}{L_2} = \frac{v_1 t_1}{v_2 t_1} = \frac{v_1}{v_2} Получаем

\frac{L_1}{L_2} = \frac{t_2}{t_1 - t_2} \frac{L_1}{L_2} = \frac{23}{23 - 13} = 1.3

Задача 6

Условие

Друзья Вася и Петя, живущие в деревнях Липовка и Демушкино, были в гостях у своего друга Саши, который живёт в деревне Малиновка, расположенной точно посередине между деревнями Липовка и Демушкино. Нагостившись у Саши, Вася и Петя одновременно вышли и отправились каждый в свою деревню, чтобы вернуться домой через t_0 = 60 мин. Спустя t_0/6 = 10 мин после выхода своих друзей Саша обнаружил, что каждый из них забыл у него дома свои вещи. Саша решил догнать каждого из них по очереди и отдать им вещи. С какой минимальной скоростью u должен бежать Саша, чтобы успеть догнать каждого из своих друзей до того, как они вернутся в свои деревни? Скорости Васи и Пети одинаковы и равны v = 5 км/ч.

Решение

Задача симметрична относительно замены Васи и Пети. Для определённости, пусть Саша сначала догонял Васю. Это заняло время \tau_1 = \frac{L/6}{u - v}. Расстояние, которое прошёл Петя за это время равно \frac{Lv/6}{u - v}. Расстояние, которое преодолел Саша, во время погони за Васей равно \frac{Lu/6}{u - v}. Значит, время, которое потребуется Саше, чтобы догнать Петю, после встречи с Васей равно \tau_2 = \frac{\displaystyle \frac{L}{6} + \frac{Lv}{6(u - v)} + \frac{Lu}{6(u - v)}}{u - v}. Тогда общее время равно \tau_1 + \tau_2 и эта сумма не должна быть больше 5t_0/6. Решая уравнение \frac{L/6}{u - v} + \frac{\displaystyle \frac{L}{6} + \frac{Lv}{6(u - v)} + \frac{Lu}{6(u - v)}}{u - v} = \frac{5t_0}{6}, получим u = v \frac{4t_0/3}{2t_0/3} = 10 \ км/ч.

Задача 7

Условие

Экспериментатор Глюк и теоретик Баг по утрам гуляют в парке. Вместе с Глюком на прогулку вышел и его пёс Шарик. Баг, не торопясь, бежит трусцой по прямой дорожке навстречу Глюку со скоростью v_{Б} , а Глюк идет с Шариком навстречу Багу со скоростью v_{Г} . Когда Глюк увидел Бага, расстояние между ними было равно L . Он тут же отпустил Шарика, и тот со всех ног со скоростью v_0 = 3(v_{Г} + v_{Б}) бросился бежать к товарищу своего хозяина. Шарик, добежав до Бага, некоторое время идет рядом с ним, а затем бросается к своему хозяину. Добежав до него и пройдясь немного рядом с Глюком, он снова бежит к Багу, и так несколько раз. За время сближения приятелей Шарик провел возле каждого из них одинаковое время. Общая длина пути, который успел пройти и пробежать пес, равна 2L . Сколько времени Шарик бегал со скоростью v_0 , если друзья встретились через 1 минуту 40 секунд? До самой встречи скорости приятелей не изменялись.

Решение

Глюк и Баг встретились через время T = L/(v_{Г} + v_{Б}).

Пусть \tau – время, которое Шарик провел, находясь рядом с каждым из друзей. Тогда вместе с Глюком и Багом он прошел часть пути, равную L_1 = \tau(v_{Г} + v_{Б}).

Все остальное время t = T - 2\tau Шарик бегал со скоростью v_0 . За это время он пробежал расстояние: L_2 = (T - 2\tau) \cdot 3(v_{Г} + v_{Б}).

По условию, Шарик пробежал путь L_1 + L_2 = 2L . Отсюда следует: \tau(v_{Г} + v_{Б}) + (T - 2\tau) \cdot 3(v_{Г} + v_{Б}) = 2T(v_{Г} + v_{Б}).

Тогда \tau = 0,2T . Шарик бегал T - 2\tau = 0,6T = 60 с.

Задача 8

Условие

Две массивные стенки движутся навстречу со скоростями v =1 м/с и 2v = 2 м/с. На гладком столе где-то между стенками изначально покоится маленький брусочек. Определите, какую максимальную скорость относительно земли может приобрести брусочек после 7 упругих ударов о стенки. Ответ дать в м/с. Округлить до целых.

14.3 Решение

Есть два варианта:

Сначала брусочек сталкивается с <<медленной стеной>>. В СО стены, брусок после удара приобретает скорость противоположную начальной. То есть последовательно брусок имеет скорость: v -> 2v -> 6v -> 8v -> 12v -> 14v -> 18v -> 20v.

Аналогично в этом варианте последовательно брусок имеет скорость: v -> ... -> 22v.

Очевидно, максимально возможная скорость это 22v.