Гидрокинематика: Часть 2

Видео

Конспект

Уравнение Бернулли как следствие закона сохранения энергии

Рассмотрим установившееся течение идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости в элементарной струйке. Выделим двумя живыми сечениями 1–1 и 2–2 отсек жидкости. За малый промежуток времени $\Delta t$ этот отсек перемещается в положение $1'$–$2'$. Приращение полной механической энергии $\Delta E$ системы равно работе внешних сил, поскольку внутреннее трение отсутствует. Внешними силами являются сила тяжести и силы давления на торцевых сечениях. Работа сил давления на боковой поверхности струйки равна нулю, так как перемещение перпендикулярно этим силам.

Приращение кинетической энергии определяется разностью энергий вошедшей и вышедшей масс: масса $\Delta m = \rho u_1 \Delta t\, d\omega_1 = \rho u_2 \Delta t\, d\omega_2$, а приращение $\Delta E_k = \Delta m(u_2^2/2 - u_1^2/2)$. Приращение потенциальной энергии положения в поле тяжести: $\Delta E_{п} = \Delta m\, g(z_2 - z_1)$.

Работа сил давления: в сечении 1 сила $p_1 d\omega_1$ совершает положительную работу на перемещении $u_1 \Delta t$; в сечении 2 сила $p_2 d\omega_2$ — отрицательную на перемещении $u_2 \Delta t$. Суммарная работа: $$

A = p_1 d\omega_1 u_1 \Delta t - p_2 d\omega_2 u_2 \Delta t = \frac{\Delta m}{\rho}(p_1 - p_2).

$$

Закон сохранения энергии $\Delta E_k + \Delta E_{п} = A$ принимает вид: $$

\Delta m\left(\frac{u_2^2}{2} - \frac{u_1^2}{2}\right) + \Delta m\, g(z_2 - z_1) = \frac{\Delta m}{\rho}(p_1 - p_2).

$$

Сокращая $\Delta m$ и группируя члены с одинаковыми индексами, получаем: $$

\frac{u_1^2}{2} + g z_1 + \frac{p_1}{\rho} = \frac{u_2^2}{2} + g z_2 + \frac{p_2}{\rho}.

$$

Поскольку сечения выбраны произвольно, сумма трех слагаемых сохраняется вдоль всей струйки: $$

\frac{u^2}{2} + g z + \frac{p}{\rho} = const.

$$

В форме напоров (после деления на $g$): $$

\frac{u^2}{2g} + z + \frac{p}{\rho g} = H = const.

$$

Величина $H$ называется полным гидродинамическим напором. Уравнение выражает постоянство суммы скоростного, геодезического и пьезометрического напоров для идеальной жидкости.