Относительность движения. Движение вдоль одной прямой: Часть 2

Задача 5

Условие

Пловец переплывает через реку шириной d=100 м за время \tau=220 с. За это время течение сносит его на S=200 м. Скорость течения реки V=0.5 \ м/с . Снос - это расстояние, на которое перемещается пловец вдоль реки к моменту достижения противоположного берега. В подвижной системе отсчета, связанной с водой, пловец движется с постоянной скоростью.

1) Найдите скорость u пловца в подвижной системе отсчета, связанной с водой.

2) За какое наименьшее время T пловец может пересечь реку?

Решение

15.9.с Перейдем в систему отсчета, связанную с водой, и разложим скорость пловца в этой системе отсчет на проекции. Перпендикулярно берегу пловец проплывает расстояние d за время \tau , тогда: d=u_{\perp} \tau \Rightarrow u_{\perp}=\frac{d}{\tau}. В системе отсчета, связанной с берегом, пловец проплывает вдоль реки расстояние S за время \tau , скорость его вдоль берега при этом, исходя из правила сложения скоростей, равна v_{\|}=u_{\|}+V. Тогда S=v_{\|} \tau \Rightarrow u_{\|}=\frac{S}{\tau}-V. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можем найти полную скорость пловца в системе отсчета, связанной с водой: u=\sqrt{u_{\|}^2+u_{\perp}^2}=\sqrt{\left(\frac{S}{\tau}-V\right)^2+\left(\frac{d}{\tau}\right)^2} \approx 0.61 \ м/с. В системе отсчёта, связанной с водой, пловец движется перпендикулярно реке со скоростью u_{\perp} : d=u_{\perp} t \Rightarrow t=\frac{d}{u_{\perp}}. Чтобы время было минимально, необходимо, чтобы скорость пловца перпендикулярно берегу была максимальна. Скорость пловца в этой системе отсчета постоянна и при этом равна: u=\sqrt{u_{\|}^2+u_{\perp}^2}. Значит проекция скорости пловца перпендикулярно берегу максимальна тогда, когда проекция скорости вдоль берега равна нулю: u_{\perp \max }=u. Значит минимальное время переправы равно: T=\frac{d}{u}=164 \ с.

Ответ 1) u \approx 0.61 \ м/с ; 2) T=164 \ с.

Задача 6

Условие

Поезд движется со скоростью v . Под некоторым углом к направлению его движения дует ветер; при этом скорость ветра, измеренная пассажиром поезда, равна v_1 . Когда поезд увеличил скорость в два раза, сохранив направление движения, скорость ветра, измеренная пассажиром, стала равна 1.5 v_1 . Определить величину скорости ветра относительно земли.

Решение

15.10.с Используем теорему Косинусов \left\{\begin{array}{l}

v_1^2=v^2+v^2-2 v v \cos \alpha \\

2.25 v_1^2=4 v^2+v^2-4 v v \cos \alpha

\end{array}\right. Первое уравнение умножим на 2 и вычтем из первого второе -0.25 v_1^2=-2 v^2+v^2 \Rightarrow v=\sqrt{2 v^2-\frac{v_1^2}{4}}.

Ответ v=\sqrt{2 v^2-\frac{v_1^2}{4}}.

Задача 7

Условие

Деревянный плот оттолкнули от берега так, что в начальный момент времени его скорость оказалась равной v_0 и направленной перпендикулярно берегу (рис.). Двигаясь по траектории, показанной на рисунке, плот через некоторое время T после начала движения оказался в точке A . Скорость реки постоянна и равна u . Графически найдите точки траектории плота, в которых он находился в моменты времени 2 T, \ 3 T и 4 T .

15.2.с Решение

Рассмотрим движение плота в системе отсчета связанной с водой, т. е. движущейся со скоростью \vec{u} .

В этой системе плот имеет начальную скорость \vec{v}^{\prime}=\vec{v}-\vec{u} и движется, по прямой. При этом скорость плота \vec{v}^{\prime} уменьшается из-за действия на него силы сопротивления воды. (Если бы сопротивление отсутствовало, то через время T плот оказался бы в точке c с координатами x_c=u T, y_c=v T .)

Перемещение плота относительно берега за время T складывается из его перемещения \vec{s}_{\text {в }}=\vec{u} T относительно воды и перемещения воды \vec{s}_{\text {п }}=\vec{v}^{\prime} T . За время 2 T перемещение воды будет вдвое большим. Отложим от точки О вдоль оси x отрезок длиной 2 s_{\text {в }} , и проведем через точку с координатой 2 s_{\text {в }} прямую, параллельную \vec{s}_{\text {п }} . Эта прямая пересекает траекторию плота в точке, отмеченной синим крестиком,- в этой точке будет находиться плот через время 2 T после начала движения.

Аналогичным построением находятся точки, в которых плот будет через время 3 T, 4 T и т. д.

Ответ см. решение.