Относительность движения. Движение вдоль одной прямой: Часть 3

Задача 8

Условие

Лента почтового транспортера движется с постоянной скоростью v , находясь в одной плоскости с горизонтальной поверхностью стола. На ленту попадает небольшая коробка, двигавшаяся по столу со скоростью v / 2 , направленной под углом \alpha(\cos \alpha=1 / 9) к краю ленты (рис.). Коэффициент трения скольжения между коробкой и лентой \mu .

1) Чему равна скорость коробки (по модулю) относительно ленты в начале движения по ленте?

2) При какой минимальной ширине ленты коробка не преодолеет ленту?

Решение

Удобно за неподвижную систему отсчета взять стол, а за движущуюся систему отсчета - ленту. Тогда скорость ленты это переносная скорость \vec{v}_{\text {п }} , причем v_{пер}=v . В начале движения по ленте скорость коробки относительно стола есть абсолютная скорость \vec{v}_{\text {абс }} , равная скорости коробки относительно стола до въезда на ленту, поэтому v_{\text {абс }}=\frac{v}{2}. Скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте есть относительная скорость \vec{v}_{\text {отн }} .

По правилу сложения скоростей, \vec{v}_{\text {абс }}=\vec{v}_{\text {отн }}+\vec{v}_{пер} . Используя теорему косинусов для треугольника из векторов скоростей, получаем v_{\text {отн }}^2=v_{пер}^2+{v}_{\text {абс }}^2-2 v_{\text {пер }} v_{\text {абс }} \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right). С учетом выражений для v_{пер} и v_{абс} через v после упрощений находим скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте: v_{\text {отн }}=\frac{7}{6} v . Для ответа на второй вопрос удобно перейти в инерциальную систему отсчета, связанную с лентой. Относительно ленты коробка имеет начальную скорость \vec{v}_{\text {отн }} , направленную под некоторым углом \gamma к краю ленты, и движется прямолинейно и равнозамедленно с ускорением \mu g . При требовании минимальности ширины d ленты коробка остановится на ленте у противоположного края ленты, пройдя по ленте путь s=\frac{d}{\sin \gamma}. Для равнозамедленного движения по ленте можно записать v_{\text {отн }}^2=2 \mu g s. Из последних двух равенств, с учетом полученного ранее выражения для v_{\text {отн }} через v , находим d=\frac{49}{72} \frac{v^2 \sin \gamma}{\mu g}. По теореме синусов для треугольника из векторов скоростей, \frac{\sin \gamma}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{v_{\text {абс }}}{v_{\text {отн}}}, где \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=\frac{4 \sqrt{5}}{9}. Отсюда, с учетом выражений для v_{\text {абс }} и v_{\text {отн }} через v , получаем \sin \gamma=\frac{4 \sqrt{5}}{21}. Подставив значение \sin \gamma в выражение для d , находим минимальную ширину ленты: d=\frac{7 \sqrt{5}}{54} \frac{v^2}{\mu g}.

Ответ 1) \frac{7}{6} v ; 2) d=\frac{7 \sqrt{5}}{54} \frac{v^2}{\mu g}.

Задача 9

Условие

На гладкой горизонтальной поверхности льда лежит лист фанеры, на котором находится стальной брусок. Одновременно листу фанеры и бруску сообщают скорости v и v \sqrt{3} относительно льда, причём их направления взаимно перпендикулярны. В процессе дальнейшего движения, из-за наличия трения, скорости бруска и доски изменяются. Определите минимальные скорости фанеры и бруска (относительно льда) в процессе их движения. Масса бруска равна массе фанеры.

15.4.с Решение

Рассмотрим векторы начальных скоростей бруска и фанеры и их изменения за некоторый малый промежуток времени \Delta t . На рисунке вектор \overrightarrow{O A} соответствует скорости бруска, вектор \overrightarrow{O B} скорости фанеры в начальный момент времени. Векторы изменений их скоростей равны по модулю (так как массы равны) и направлены вдоль вектора их относительной скорости A B (скорость бруска относительно фанеры - вектор \overrightarrow{A B} , а сила трения, действующая на брусок направлена от A к B и наоборот для листа фанеры).

15.11.с Через время \Delta t концы векторов новых скоростей \overrightarrow{O A_1} и \overrightarrow{O B_1} , попрежнему лежат на АВ и силы трения, действующие на тела, попрежнему направлены вдоль A B . Скорости бруска и фанеры будут изменяться до тех пор, пока не выровняются по величине и направлению, а точки A_1 и B_1 не окажутся на середине A B . Дальнейшее очевидно из геометрии. Скорость бруска уменьшается, пока не достигнет постоянного значения O M, O M=A B / 2=v . Минимальная скорость листа фанеры достигается прежде, чем скорости установятся - длина вектора \overrightarrow{O B_2} равна O B_2=O A \sin 30^{\circ} . Таким образом, минимальная скорость бруска относительно льда при движении равна v , а фанеры, соответственно \sqrt{3 v} / 2 .

Ответ Минимальная скорость бруска относительно льда при движении равна v , а фанеры, соответственно \sqrt{3 v} / 2 .