Центрифуга, туман и вихри: Часть 2

Видео

Конспект

\begin{gathered}

\frac{\Delta v_r}{\Delta t}=\frac{v_{\varphi}^2}{r}-\beta\left(v_r-0\right), \\

\frac{\Delta v_{\varphi}}{\Delta t}=-\frac{v_r v_{\varphi}}{r}-\beta\left(v_{\varphi}-V_{\varphi}\right) .

\end{gathered} Тут в первом слагаемом правой части первого уравнения легко узнать центробежное ускорение, а коэффициент \beta во втором слагаемом можно представить в виде \beta=1 / \tau (хотя бы из соображений размерностей). Кроме того, мы рассматриваем случай, когда радиальная составляющая скорости несущего газа равна нулю, а тангенциальная составляющая V_{\varphi}(r) - есть произвольная функция радиуса. Такое движение можно, например, осуществить в цилиндрической трубе. А теперь, считая, что капелька очень мала и, значит, быстро «привыкает» к локальным условиям обтекания ее несущей средой, приравняем нулю левые части этих уравнений, т.е. будем рассматривать безынерционное, ползущее движение капельки, аналогичное движению шарика в глицерине. Тогда получим алгебраическую систему уравнений для определения локально установившихся составляющих скорости капельки во вращающейся системе координат:

\frac{v_{\varphi}^2}{r}-\frac{v_r}{\tau}=0, \quad \frac{v_{\varphi}-V_{\varphi}}{\tau}+\frac{v_r v_{\varphi}}{r}=0 . Чтобы не возиться с точным решением этой системы уравнений, используем физические соображения. Интуитивно ясно, что очень малые частицы будут двигаться по окружности почти с той же скоростью, что и несущая среда: v_{\varphi} \approx V_{\varphi} . Это значит, что частица должна сделать много оборотов вокрут оси при незначительном смещении по радиусу, т.е. v_r \ll v_{\varphi} \approx V_{\varphi} . Принимая значение v_{\varphi}=V_{\varphi} в качестве первого приближения, из первого уравнения получим

v_r=\frac{\tau}{r} V_{\varphi}^2 . В частном случае V_{\varphi}=\omega_0 r (несущая среда вращается с постоянной угловой скоростью \omega_0 как твердое тело) найдем

v_r=\omega_0^2 r \tau . Учитывая, что v_r=\Delta r / \Delta t , решим полученное уравнение (с начальным условием r=r_0 при t=0 ) на «большом» времени (t \gg \tau) :

r = r_0 e^{\omega_0^2 \tau t} = r_0 e^{\omega_0 \tau \varphi} = r_0 e^{2 \pi \frac{\tau}{T} \varphi}, где \varphi=\omega_0 t, \omega_0=2 \pi / T, T- период (хотите - верьте, хотите - проверьте подстановкой). Таким образом, в принятых предположениях частица движется по так называемой логарифмической спирали.

лцентриф2 Для тех, кто хочет провести вычисления, разумеется, важно знать, что такое \tau . Сила сопротивления для шаровой частицы (сила Стокса) равна

F_{\text {coпp }}=6 \pi \eta a(v-V), где a - радиус шарика, а \eta - вязкость, которую можно найти в справочниках (не забудьте обратить внимание на систему единиц). Тогда

\tau=\frac{1}{\beta}=\frac{2}{9} \frac{\rho a^2}{\eta}, где \rho - плотность материала частицы. Например, для случая капельки воды (\rho = 1000 \ кг/м^3) радиусом a=1 мкм в воздухе (\eta \approx 2 \cdot 10^{-5} \ кг/(м \cdot с) получим

\tau \sim 10^{-5} \mathrm{c} . Сравним это время, например, со временем одного оборота при закрутке воздуха с такими капельками в трубке радиусом r_0=1 \ см с линейной скоростью V_{\varphi}=100 \ м/с . Время одного оборота равно

T=\frac{2 \pi r_0}{V_{\varphi}}=2 \pi \cdot 10^{-4} \ с, что в шестьдесят раз больше \tau , так что наши предположения о квазиравновесном движении капельки верны. Отметим, что при этих условиях капелька имеет чудовищное центробежное ускорение:

V_{\varphi}^2 / r_0 \sim 10^6 \ м / с^2=10^5 \mathrm{~g}. В этом и состоит предназначение центрифуги. Центрифуги сейчас используются в медицине, в текстильной, пищевой и тяжёлой промышленностях, в сельском хозяйстве, в прачечных и для разделения изотопов одного и того же химического элемента.