Движение по окружности: Часть 3

Радиус кривизны

Если материальная точка движется по некой плоской кривой, то в окрестностях любой точки, траектория может быть приближена с помощью окружности.

1.2 Конечно, в каждой точки кривой будет своя собственная окружность со своим собственным радиусом, который называется радиусом кривизны. Если известна зависимость x(y) для траектории в прямоугольных декартовых координатах, то можно вывести радиус кривизны для любой точки.

Рассмотрим окружность, касающуюся исследуемой кривой так, что в точке касания первая и вторая производная кривой совпадает с теми же производными окружности. Найдем центр такой окружности и её радиус.

(x-u)^2+(y-v)^2=R^2. Дифференцируем по x

x-u+(y-v) y y^{\prime} = 0. Еще раз дифференцируем

1+(y-v) y^{\prime \prime}+y {y^{\prime}}^2 = 0. Находим из последнего уравнения

v=y+\left(y {y^{\prime}}^2+1\right) / y^{\prime \prime}. Подставляя

u=x+y y^{\prime}(y-v), откуда

u=x-\left(y {y^{\prime}}^3+y y^{\prime}\right) / y^{\prime \prime}. Окончательно подставляя

R^2=\frac{\left(1+y {y^{\prime}}^2\right)^3}{{y^{\prime \prime}}^2}. Извлекая корень

R=\frac{\left(1+y {y^{\prime}}^2\right)^{3/2}}{{y^{\prime \prime}}}. Все формулы, которые мы выводили для окружности верны и для других траекторий если мы используем их в конкретной точке с заменой радиуса окружности на радиус кривизны траектории в данной точке.