Движение по окружности

Движение по окружности Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Задача Точка движется по окружности радиуса $R$ с постоянным по модулю ускорением $a$. Какой угол пройдёт точка к моменту достижения максимальной скорости, если начальная скорость равна нулю? Способ 1 Скорость станет максимальной. то есть тело не сможет разгоняться дальше, когда $a_n$ станет равно $a$, то есть $a_\tau$ будет равно 0 . Рассмотрим маленький промежуток времени $\Delta t$ до того, как всё ускорение стало нормальным. За это время тело прошло угол $$ \Delta \beta=\omega \Delta t $$ Рассмотрим, на сколько поменялся угол между $a$ и $a_\tau$. Пусть в начале промежутка он был равен $\alpha$, а в конце $\alpha+\Delta \alpha$. Тогда изначально $$ tg \alpha=\frac{a_n}{a_\tau} $$ а в конце $$ tg(\alpha+\Delta \alpha)=\frac{\left(v+a_\tau \Delta t\right)^2 / R}{a_\tau}=\frac{a_n}{a_\tau}+\frac{2 a_\tau v \Delta t}{R a_\tau}=tg \alpha+\frac{2 v \Delta t}{R}=tg \alpha+2 \omega \Delta t $$ Из тригонометрических соображений: $$ tg(\alpha+\Delta \alpha)=\frac{tg \alpha+tg \Delta \alpha}{1-tg \alpha tg \Delta \alpha}=\frac{tg \alpha+\Delta \alpha}{1}=tg \alpha+\Delta \alpha $$ Решая совместно, получаем, что $$ \Delta \alpha=2 \omega \Delta t $$ то есть угол между $a$ и $a_\tau$ в любой момент времени меняется в два раза быстрее, чем пройденный телом центральный угол окружности. Угол между полным и тангенциальным ускорением менялся от 0 до $\pi / 2$, значит центральный угол менялся от 0 до $\pi / 4$. Значит пройденный угол равен $\pi / 4$. Способ 2 Так как тангенциальное ускорение ответственно за модуль скорости $$ a_{\tau} = \frac{dv}{dt}. $$ Из определения линейной скорости $$ dS = v dt. $$ Объединяя, получаем $$ dS = v \frac{dv}{a_{\tau}}. $$ По теореме Пифагора $$ a_{\tau} = \sqrt{a^2 - a_n^2}. $$ То есть $$ dS = v \frac{dv}{\sqrt{a^2 - a_n^2}}. $$ Из связи между линейной скоростью и нормальным ускорением $$ dS = v \frac{dv}{\sqrt{a^2 - \frac{v^4}{R^2}}}. $$ Интегрируем $$ \int\limits^{S_{конечное}}_0 dS = \int\limits_0^{v_{\max}} \frac{v dv}{\sqrt{a^2 - \frac{v^4}{R^2}}} = \int\limits_0^a \frac{R}{2} \frac{da_n}{\sqrt{a^2 - a_n^2}} $$ То есть $$ S_{конечное} = \frac{R}{2} \arcsin{\frac{a_n}{a}} \Bigg|_0^a = \frac{\pi R}{4}. $$ Значит угол, на который сместилось тело равен $\pi/4.$