Движение по окружности: Часть 2

Для лучшего понимания рассмотрим задачу.

Задача

Точка движется по окружности радиуса R с постоянным по модулю ускорением a . Какой угол пройдёт точка к моменту достижения максимальной скорости, если начальная скорость равна нулю?

Способ 1

Скорость станет максимальной. то есть тело не сможет разгоняться дальше, когда a_n станет равно a , то есть a_\tau будет равно 0 .

Рассмотрим маленький промежуток времени \Delta t до того, как всё ускорение стало нормальным. За это время тело прошло угол

\Delta \beta=\omega \Delta t Рассмотрим, на сколько поменялся угол между a и a_\tau . Пусть в начале промежутка он был равен \alpha , а в конце \alpha+\Delta \alpha .

Тогда изначально

tg \alpha=\frac{a_n}{a_\tau} а в конце

tg(\alpha+\Delta \alpha)=\frac{\left(v+a_\tau \Delta t\right)^2 / R}{a_\tau}=\frac{a_n}{a_\tau}+\frac{2 a_\tau v \Delta t}{R a_\tau}=tg \alpha+\frac{2 v \Delta t}{R}=tg \alpha+2 \omega \Delta t Из тригонометрических соображений:

tg(\alpha+\Delta \alpha)=\frac{tg \alpha+tg \Delta \alpha}{1-tg \alpha tg \Delta \alpha}=\frac{tg \alpha+\Delta \alpha}{1}=tg \alpha+\Delta \alpha Решая совместно, получаем, что

\Delta \alpha=2 \omega \Delta t то есть угол между a и a_\tau в любой момент времени меняется в два раза быстрее, чем пройденный телом центральный угол окружности. Угол между полным и тангенциальным ускорением менялся от 0 до \pi / 2 , значит центральный угол менялся от 0 до \pi / 4 . Значит пройденный угол равен \pi / 4 .

Способ 2

Так как тангенциальное ускорение ответственно за модуль скорости

a_{\tau} = \frac{dv}{dt}. Из определения линейной скорости

dS = v dt. Объединяя, получаем

dS = v \frac{dv}{a_{\tau}}. По теореме Пифагора

a_{\tau} = \sqrt{a^2 - a_n^2}. То есть

dS = v \frac{dv}{\sqrt{a^2 - a_n^2}}. Из связи между линейной скоростью и нормальным ускорением

dS = v \frac{dv}{\sqrt{a^2 - \frac{v^4}{R^2}}}. Интегрируем

\int\limits^{S_{конечное}}_0 dS = \int\limits_0^{v_{\max}} \frac{v dv}{\sqrt{a^2 - \frac{v^4}{R^2}}} = \int\limits_0^a \frac{R}{2} \frac{da_n}{\sqrt{a^2 - a_n^2}} То есть

S_{конечное} = \frac{R}{2} \arcsin{\frac{a_n}{a}} \Bigg|_0^a = \frac{\pi R}{4}. Значит угол, на который сместилось тело равен \pi/4.