Равноускоренное движение: Часть 2

Задача 4

Условие

Автомобиль, едущий со скоростью v_0 , в некоторый момент начинает движение с таким постоянным ускорением, что за время \tau пройденный им путь s оказывается минимальным. Определите этот путь s .

Решение

Чтобы путь, пройденный за время \tau , был минимальным, автомобиль должен начать тормозить. Пусть t_1 - время, прошедшее с момента начала торможения до момента остановки автомобиля. (Вместо t_1 в качестве параметра задачи можно ввести конечную скорость v_1 автомобиля). После этого момента автомобиль начнёт разгоняться в обратном направлении. Пройденный путь

s=\frac{v_0 t_1}{2}+\frac{v_0}{t_1} \frac{\left(\tau-t_1\right)^2}{2}=\frac{v_0}{2}\left(t_1+\frac{\left(\tau-t_1\right)^2}{t_1}\right). Преобразуем это выражение к виду

\frac{2 s t_1}{v_0}=t_1^2+\left(\tau-t_1\right)^2. Это квадратное уравнение относительно переменной t_1 . Приведём его к виду

t_1^2-\left(\tau+\frac{s}{v_0}\right) t_1+\frac{\tau^2}{2}=0. Дискриминант этого уравнения равен

\left(\tau+\frac{s}{v_0}\right)^2-(\sqrt{2} \tau)^2=\left(\tau+\frac{s}{v_0}-\sqrt{2} \tau\right)\left(\tau+\frac{s}{v_0}+\sqrt{2} \tau\right) . Из анализа первого сомножителя находим, что путь, пройденный за время \tau , минимален при условии

s=(\sqrt{2}-1) \tau v_0. Ответ s=(\sqrt{2}-1) \tau v_0.

Задача 5

Условие

Электрон движется прямолинейно в области с электрическим полем в течение времени \tau . Половину этого времени он движется с постоянным ускорением, а оставшееся время движется с таким же по модулю, но противоположным по знаку ускорением. Определите, какой минимальный путь может пройти электрон за всё время движения, если вначале он имел скорость v .

Решение

Очевидно, что путь электрона будет минимален, если векторы начальной скорости и начального ускорения направлены в противоположные стороны. Пусть \tau^{\prime} - время, прошедшее с момента начала торможения до момента первой остановки электрона. На графике представлен характер движения электрона (см. рисунок).

Пройденный путь равен

S=v \tau^{\prime}+\frac{v}{\tau^{\prime}}\left(\frac{\tau}{2}-\tau^{\prime}\right)^2=v\left(\tau^{\prime}+\frac{\left(\frac{\tau}{2}-\tau^{\prime}\right)^2}{\tau^{\prime}}\right) \Rightarrow \tau^{\prime 2}-\frac{1}{2}\left(\tau+\frac{S}{v}\right) \tau^{\prime}+\frac{\tau^2}{8}=0 . Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицателен, т.е.

\frac{1}{4}\left(\tau+\frac{S}{v}\right)^2-\frac{1}{2} \tau^2=\left(\frac{\tau}{2}+\frac{S}{2 v}-\frac{\tau}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\tau}{2}+\frac{S}{2 v}+\frac{\tau}{\sqrt{2}}\right) \geq 0 \Rightarrow \frac{\tau}{2}+\frac{S}{2 v}-\frac{\tau}{\sqrt{2}} \geq 0 Значит, минимальный путь равен

S_{\min }=(\sqrt{2}-1) v \tau. 0.4c Ответ S_{\min }=(\sqrt{2}-1) v \tau.