Равноускоренное движение

Равноускоренное движение Задача 11 Условие Тело свободно падает с высоты $h = 270$ м. Разделить эту высоту на три части $h_1, \ h_2, \ h_3$ так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время. Решение Из условия $$h = h_1 + h_2 + h_3.$$ Всё время, за которое падает тело $$3\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}.$$ Значит время для каждого из участков $$\tau = \sqrt{\frac{2h}{9g}}.$$ Для первого участка $$h_1 = \frac{g \tau^2}{2} = \frac{2gh}{18g} = \frac{h}{9}.$$ Для второго участка $$h_2 = g\tau^2 + \frac{g \tau^2}{2} = \frac{3}{2} g \tau^2 = \frac{h}{3}.$$ Для третьего $$h_3 = h - h_1 - h_2 = \frac{5h}{9}.$$ Ответ $\frac{h}{9}$; $\frac{h}{3}$; $\frac{5h}{9}$. Задача 12 Условие Два тела начинают падать одновременно с разных высот $h$ и $H$ и достигают Земли одновременно. Какую начальную скорость сообщили верхнему телу, если нижнее падало без начальной скорости. Решение Для тела падающего без начальной скорости: $$h = \frac{gt^2}{2} \ \Rightarrow \ t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.$$ Для второго тела, соответственно, подставляя время: $$H = v_0 t + \frac{gt^2}{2} = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} + h \ \Rightarrow \ v_0 = \frac{(H - h)\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}.$$ Ответ $\frac{(H - h)\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}.$ Задача 13 Условие График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела $v_0$, время движения $t_0$. Определите путь, пройденный телом. Решение Площадь под графиком $v(t)$ это перемещение (так как в данном случае путь и модуль перемещения совпадают, разницы нет): $$S = \frac{1}{4} \pi v_0 t_0.$$ Ответ $\frac{1}{4} \pi v_0 t_0.$ Задача 14 Условие На железнодорожной платформе у начала шестого вагона покоящегося поезда стоял пассажир. Поезд тронулся с места и далее двигался равноускоренно. При этом оказалось, что десятый вагон поезда проезжал мимо пассажира в течение времени $\tau$. В течение какого времени будет проезжать мимо пассажира тринадцатый вагон? Вагоны поезда перенумерованы по порядку с начала поезда и имеют одинаковую длину. Пассажир неподвижен. Решение Выберем систему координат так, что ее начало находится в той точке, где находится пассажир, ось $x$ направим по движению поезда. Тогда закон движения точки поезда, находящейся в первый момент рядом с пассажиром (обозначим ее $A$ ), имеет вид $$ x_A(t)=\frac{a t^2}{2}, $$ где $a$ - ускорение поезда. Время проезда мимо пассажира десятого вагона поезда равно разности моментов времени, когда напротив пассажира окажется конец десятого вагона (а в этот момент точка $A$ окажется на расстоянии в 5 вагонов от пассажира) и начало десятого вагона (в этот момент точка $A$ окажется на расстоянии 4 вагона от пассажира). Поэтому для времени $\tau$ имеем $$ \tau=\sqrt{\frac{10 l}{a}}-\sqrt{\frac{8 l}{a}}=\sqrt{\frac{2 l}{a}}(\sqrt{5}-\sqrt{4}), $$ где $l$ - длина вагона. Отсюда находим $$ \sqrt{\frac{2 l}{a}}=\frac{\tau}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} . $$ Тринадцатый вагон будет проезжать мимо пассажира в течение времени, которое равно разности моментов времени, когда напротив пассажира окажется конец тринадцатого вагона (а в этот момент точка А окажется на расстоянии в 8 вагонов от пассажира) и начало тринадцатого вагона (в этот момент точка А окажется на расстоянии 7 вагонов от пассажира). Поэтому $$ \tau_1=\sqrt{\frac{16 l}{a}}-\sqrt{\frac{14 l}{a}}=\sqrt{\frac{2 l}{a}}(\sqrt{8}-\sqrt{7})=\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} \tau . $$ Ответ $\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} \tau .$