Равноускоренное движение: Часть 5

Задача 11

Условие

Тело свободно падает с высоты h = 270 м. Разделить эту высоту на три части h_1, \ h_2, \ h_3 так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.

Решение

Из условия

h = h_1 + h_2 + h_3. Всё время, за которое падает тело

3\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}}. Значит время для каждого из участков

\tau = \sqrt{\frac{2h}{9g}}. Для первого участка

h_1 = \frac{g \tau^2}{2} = \frac{2gh}{18g} = \frac{h}{9}. Для второго участка

h_2 = g\tau^2 + \frac{g \tau^2}{2} = \frac{3}{2} g \tau^2 = \frac{h}{3}. Для третьего

h_3 = h - h_1 - h_2 = \frac{5h}{9}. Ответ \frac{h}{9} ; \frac{h}{3} ; \frac{5h}{9} .

Задача 12

Условие

Два тела начинают падать одновременно с разных высот h и H и достигают Земли одновременно. Какую начальную скорость сообщили верхнему телу, если нижнее падало без начальной скорости.

Решение

Для тела падающего без начальной скорости:

h = \frac{gt^2}{2} \ \Rightarrow \ t = \sqrt{\frac{2h}{g}}. Для второго тела, соответственно, подставляя время:

H = v_0 t + \frac{gt^2}{2} = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} + h \ \Rightarrow \ v_0 = \frac{(H - h)\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}. Ответ \frac{(H - h)\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}.

Задача 13

Условие

График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела v_0 , время движения t_0 . Определите путь, пройденный телом.

Решение

Площадь под графиком v(t) это перемещение (так как в данном случае путь и модуль перемещения совпадают, разницы нет):

S = \frac{1}{4} \pi v_0 t_0. Ответ \frac{1}{4} \pi v_0 t_0.

Задача 14

Условие

На железнодорожной платформе у начала шестого вагона покоящегося поезда стоял пассажир. Поезд тронулся с места и далее двигался равноускоренно. При этом оказалось, что десятый вагон поезда проезжал мимо пассажира в течение времени \tau . В течение какого времени будет проезжать мимо пассажира тринадцатый вагон? Вагоны поезда перенумерованы по порядку с начала поезда и имеют одинаковую длину. Пассажир неподвижен.

Решение

Выберем систему координат так, что ее начало находится в той точке, где находится пассажир, ось x направим по движению поезда. Тогда закон движения точки поезда, находящейся в первый момент рядом с пассажиром (обозначим ее A ), имеет вид

x_A(t)=\frac{a t^2}{2}, где a - ускорение поезда. Время проезда мимо пассажира десятого вагона поезда равно разности моментов времени, когда напротив пассажира окажется конец десятого вагона (а в этот момент точка A окажется на расстоянии в 5 вагонов от пассажира) и начало десятого вагона (в этот момент точка A окажется на расстоянии 4 вагона от пассажира). Поэтому для времени \tau имеем

\tau=\sqrt{\frac{10 l}{a}}-\sqrt{\frac{8 l}{a}}=\sqrt{\frac{2 l}{a}}(\sqrt{5}-\sqrt{4}), где l - длина вагона. Отсюда находим

\sqrt{\frac{2 l}{a}}=\frac{\tau}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} . Тринадцатый вагон будет проезжать мимо пассажира в течение времени, которое равно разности моментов времени, когда напротив пассажира окажется конец тринадцатого вагона (а в этот момент точка А окажется на расстоянии в 8 вагонов от пассажира) и начало тринадцатого вагона (в этот момент точка А окажется на расстоянии 7 вагонов от пассажира). Поэтому

\tau_1=\sqrt{\frac{16 l}{a}}-\sqrt{\frac{14 l}{a}}=\sqrt{\frac{2 l}{a}}(\sqrt{8}-\sqrt{7})=\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} \tau . Ответ \frac{(\sqrt{8}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})} \tau .