Равноускоренное движение: Часть 3

Задача 6

Условие

По прямому участку дороги с одинаковой скоростью v друг за другом едут две машины, одна из которых при торможении может двигаться с предельным ускорением a_1 , а другая - с a_2 . Если с постоянным ускорением до полной остановки начинает тормозить водитель передней машины, то водитель задней реагирует и нажимает на педаль тормоза не сразу, а с задержкой \tau=0,3 с. В зависимости от того, какая из машин едет впереди, безопасные дистанции, исключающие столкновение между ними, оказываются равными L_1=6 м или L_2=9 м. Определите, с какой скоростью едут машины. Оцените разность ускорений \Delta a машин, если известно, что сами ускорения примерно равны 5 м/с^2 .

Решение

Величина безопасного расстояния зависит от тормозного пути автомобилей и пути, который проезжает задний автомобилист перед тем, как успеть нажать на тормоз. Эти пути будут составлять

\begin{aligned}

L_1 & =v \tau+\frac{v^2}{2 a_1}-\frac{v^2}{2 a_2} \\

L_2 & =v \tau+\frac{v^2}{2 a_2}-\frac{v^2}{2 a_1}

\end{aligned} Откуда, складывая уравнения, получим:

2 v t=L_2+L_1 \rightarrow v=\frac{L_2+L_1}{2 \tau}=25 \ м/с. А разность ускорений найдем вычитая из второго уравнения первое:

\Delta a=a_1-a_2=\frac{L_2-L_1}{v^2} a_1 a_2 \approx 0,12 \ м/с^2. Ответ 25 \ м/с ; 0.12 \ м/с^2.

Задача 7

Условие

Гоночный автомобиль (болид) преодолевает контрольный прямолинейный участок трассы со средней скоростью v_{ср} , причём на всём этом участке он движется в одну и ту же сторону равноускоренно. Вычислите максимально и минимально возможные скорости болида ( v_{\max } и v_{\min } соответственно) в середине контрольного участка трассы.

Решение

Пусть начальная скорость болида v_0 , а ускорение при движении равно a . Тогда длина контрольного участка трассы

L=\frac{v_{к}^2-v_0^2}{2 a} . Для половины пути справедливо соотношение:

\frac{L}{2}=\frac{v^2-v_0^2}{2 a} Из первых двух уравнений получим выражение для скорости в середине трассы:

v^2=\frac{v_{к}^2+v_0^2}{2} Так как движение равноускоренное, то средняя скорость v_{сp} выражается через v_{к}, \ v_0 следующим образом:

v_{сp}=\frac{L}{t}=\frac{v_0 t+a t / 2}{t}=v_0+\frac{v_{к}-v_0}{2}=\frac{v_0+v_{к}}{2} . Начальная и конечная скорости неотрицательны, поэтому для начальной скорости верно условие 0<v_0<2 v_{сp} . Выразим скорость v в середине пути через v_0 и v_{сp}:

v^2=2 v_{сp}^2-2 v_0 v_{сp}+v_0^2=\left(v_{сp}-v_0\right)^2+v_{сp}^2 . Минимальная скорость v_{\min} достигается при v_0=v_{сp} и равна v_{сp} . Максимальная скорость v_{\max } достигается при v_0=0 или v_0=2 v_{сp} и равна \sqrt{2} v_{сp} .

Ответ v_{\min} = v_{сp} ; v_{\max } = \sqrt{2} v_{сp} .