Основные понятия: Часть 3

Траектория и приложения

Кроме уже перечисленных способов задания положения точки в пространстве, существует так же способ задания положения с помощью радиус-вектора. Радиус-вектор это вектор, проведённый из начала координат в положение тела.

После того как мы определились с тем, какими способами можно описывать положение точки в пространстве, определимся с тем, что такое траектория. Траектория это линия в пространстве, являющаяся множеством точек, в которых находилась материальная точка в процессе движения. Мы знаем множество различных траекторий: прямая, окружность, парабола и другие. Окружность и парабола будут разобраны в следующих лекциях, прямую затронем уже в этой. Путём ( S ) называется длина траектории.

Мы готовы подойти к центральным понятиям кинематики. Перемещением называется вектор, являющийся разностью между начальным и конечным радиус-векторами

\vec{S} = \vec{R}_{кон} - \vec{R}_{нач}. Скоростью называется векторная физическая величина равная отношению перемещения, пройденного за малый промежуток времени, к величине этого промежутка

\vec{v} = \frac{d \vec{S}}{dt}. Ускорением называется векторная физическая величина равная отношению изменения скорости, произошедшего за малый промежуток времени, к величине этого промежутка

\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt}. Средней скоростью называется векторная физическая величина равная отношению перемещения, пройденного за всё время движения, к величине этого времени

\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{S}}{t}. Средней путевой скоростью называется скалярная физическая величина равная отношению пути, пройденного за всё время движения, к величине этого времени

\vec{v}_{ср пут} = \frac{S}{t}. Не стоит путать путь ни с перемещением, ни с модулем перемещения. Во многих случаях они принципиально не совпадают.

Теперь, когда мы сформулировали все центральные понятия кинематики, мы можем сформулировать её основную задачу. Основная задача кинематики состоит в нахождении закона движения. Закон движения это зависимость радиус-вектора от времени R(t).

Разберём несколько частных случаев движения по прямой.

Равномерное прямолинейное движение

Движение называется равномерным, если \vec{v} = const. Движение называется прямолинейным, если траектория движения это прямая. Заметим, что из неизменности вектора скорости следует и неизменность модуля скорости и неизменность её направления.

Закон движения для равномерного прямолинейного движения выглядит довольно просто и знакомо ещё с начальной школы:

\vec{R} = \vec{R}_0 + \vec{v}t. Кроме того

\vec{S} = \vec{v}t, \quad S = |\vec{S}|, \quad \vec{v} = \vec{v}_{ср}, \quad |\vec{v}_{ср}| = v_{ср пут}. Равноускоренное прямолинейное движение

Движение называется равноускоренным, если \vec{a} = const.

Из определения ускорения и, того факта, что ускорение неизменно, получаем ( \vec{v}_0 это начальная скорость тела, \vec{v} это скорость в момент времени t )

\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t. Проинтегрировав по времени обе части, получим

\vec{S} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}. И, по определению перемещения

\vec{R} = \vec{R_0} + \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}, мы получаем закон движения.

Выразим из первого уравнения начальную скорость и подставим во второе уравнение

\vec{S} = \vec{v}t - \frac{\vec{a}t^2}{2}. Выразим из первого уравнения ускорение и подставим во второе уравнение

\vec{S} = \frac{\vec{v} + \vec{v}_0}{2}t. Сравнивая с определением средней скорости, получим, что для равноускоренного прямолинейного движения

\vec{v}_{ср} = \frac{\vec{v} + \vec{v}_0}{2}. Выразим из первого уравнения время и подставим во второе уравнение

2 (\vec{a} \cdot \vec{S}) = v^2 - v_0^2. Обратим внимание на все 5 величин, которые принимают участие во всех этих уравнениях:

\vec{v}, \ \vec{v}_0, \ \vec{S}, \ \vec{a}, \ t. В каждой конкретной задаче есть величина, которая не дана и, при этом, не спрашивается. Эта величина лишняя, и, если она попадёт в уравнение, то от неё придётся долго и муторно избавляться. Поэтому мы вывели 5 формул, в каждой из которой одна из величин отсутствует:

\begin{cases}

2 (\vec{a} \cdot \vec{S}) = v^2 - v_0^2, \ \text{формула без t}\\ \\ 2\vec{S} = (\vec{v} + \vec{v}_0)t, \ \text{формула без } \vec{a} \\ \\ \vec{S} = \vec{v_0}t + \frac{\vec{a}t^2}{2}, \ \text{формула без } \vec{v} \\ \\ \vec{S} = \vec{v}t - \frac{\vec{a}t^2}{2}, \ \text{формула без } \vec{v_0} \\ \\ \vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t, \ \text{формула без } \vec{S} \end{cases}

В каждой задаче стоит использовать наиболее подходящую формулу, чтобы упростить расчёты.

Графики в кинематике

Рассмотрим график зависимости v(t) . Выделим узкий столбик, как показано на рисунке и рассмотрим его отдельно.

0.6 Площадь такого <<скошенного>> столбика равна

v \Delta t + \Delta v \Delta t / 2. Если переходить к бесконечно узкому столбику, то \Delta v \Delta t это бесконечно малое второго порядка, которым можно пренебречь, по сравнению с первым слагаемым.

Получаем, что площадь столбика

dS = v dt, то есть малое перемещение и площадь столбика совпадают по определению. Значит, площадь под графиком v(t) совпадает с перемещением, в том числе и по знаку! То есть, если график v(t) уходит в отрицательные значения v (скорость направлена против оси, на которую мы проецируем), и площадь начинает находиться <<под осью>>.

Заметим, что, хоть мы и рассматривали график для равноускоренного движения, полученное свойство верно для любого движения.

Рассмотрим график S(t) , где под S можно в данном случае рассматривать и путь и модуль перемещения. Касательная к этому графику будет иметь уравнение S = kt + b, где k = dS/dt, то есть, по определению, скорость. Таким образом, получаем, что угловой коэффициент касательной к графику S(t) равен v в данный момент времени.

Аналогично, угловой коэффициент касательной к графику v(t) равен a в данный момент времени.